Επαναληπτική στους "Μιγάδες"

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Επαναληπτική στους "Μιγάδες"

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από pana1333 » Κυρ Απρ 03, 2011 2:31 am

Καλημέρα δίνω μια δικής μου κατασκευής....

Έστω η συνάρτηση f με τύπο f\left(x \right)=x+\beta , \beta \epsilon R, ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει η σχέση \left|\left(4-4i \right)z-32 \right|=\sqrt{32} και ο μιγαδικός w του οποίου η εικόνα ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

1) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του \left|z-w \right| για τις διάφορες τιμές του \beta \epsilon R και

2) Για β=1 και x\epsilon \left[3,4 \right] να βρεθεί η μέγιστη τιμή του \left|z-w \right|.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8666
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Επαναληπτική στους "Μιγάδες"

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από KARKAR » Κυρ Απρ 03, 2011 11:10 am

Βγάζοντας κοινό παράγοντα το 4 παίρνω : |(1-i)(x+yi)-8|=\sqrt{2}\Leftrightarrow (x+y-8)^{2}+(y-x)^2=2,

και μετά τις πράξεις καταλήγω στην : (x-4)^{2}+(y-4)^2=1 , δηλαδή το z κινείται σε κύκλο με : K(4,4) , R=1

Η ελάχιστη τιμή του |z-w| , είναι η απόσταση του d(K, e)-R όπου e : x-y+b και ισούται με :\displaystyle\frac{|4-4+b|}{\sqrt{2}}-1=\frac{|b|\sqrt{2}}{2}-1

αν η ευθεία διέρχεται εκτός του κύκλου , δηλαδή αν \displaystyle\frac{|b|\sqrt{2}}{2}-1>0 και γίνεται 0 , αν η ευθεία έχει με τον κύκλο κοινά σημεία.

Αν b=1 , τότε y=x+1 , οπότε επειδή x\in[3,4] , η μέγιστη τιμή του |z-w| ισούται με το μήκος της διαμέτρου του κύκλου , δηλαδή 2 (σχήμα) .

* Διορθώθηκε η αβλεψία , μετά την παρατήρηση της Φωτεινής και του Χρήστου
Συνημμένα
Μιγάδες .png
Μιγάδες .png (9.67 KiB) Προβλήθηκε 1266 φορές
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Δευ Απρ 04, 2011 2:05 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3672
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Επαναληπτική στους "Μιγάδες"

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Φωτεινή » Κυρ Απρ 03, 2011 11:29 am

για το πρώτο (έχω διαφορετικό κύκλο από το Θανάση)

|(4-4i)z-32|=4\sqrt 2\rightarrow |(1-i)z-8|=\sqrt 2 \rightarrow |1+i|\cdot |(1-i)z-8|=2\rightarrow |2z-8(1+i)|=2 \rightarrow |z-(4+4i)|=1,

Κύκλος με κέντρο Κ(4,4) και ακτίνα ρ=1

-----
Θανάση,στην πρώτη σειρά έχει ένα typo :το -8 , έγινε +8,


Φωτεινή Καλδή
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική στους "Μιγάδες"

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από pana1333 » Τετ Απρ 06, 2011 4:51 am

Θανάση και Φωτεινή ευχαριστώ που ασχοληθήκατε.....

Το συγκεκριμένο θέμα το έφτιαξα με αφορμή το εξής.....

Σε πολλά βιβλία μαθηματικών κατεύθυνσης υπάρχει η εξής "μεθοδολογία"

Κύκλος και Ευθεία - ελάχιστο μέτρο \left| {z - w} \right|

Έστω η εικόνα ενός μιγαδικού z κινείται σε κύκλο κέντρου Κ και ακτίνας ρ και η εικόνα του μαγαδικού w σε ευθεία (ε). Τότε η ελάχιστη τιμή του \left| {z - w} \right| είναι ίση με το μήκος \left| {d\left( {K,\varepsilon } \right) - \rho } \right|.

Μόλις το είχα πρωτοδεί θεώρησα ότι η απόλυτη τιμή αφορά την περίπτωση που η ευθεία τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία. Αυτό όμως πιστεύω ότι είναι λάθος. Δηλαδή δεν ισχύει ο παραπάνω "τύπος" σε αυτή τη περίπτωση αφού η ελάχιστη τιμή για την περίπτωση που ο κύκλος και η ευθεία εφαπτονται ή τέμνονται σε 2 σημεία είναι μηδέν.

Ποια η γνώμη σας;


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική στους "Μιγάδες"

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από parmenides51 » Πέμ Απρ 07, 2011 1:44 pm

Απόλυτα σωστός είσαι. Ο παραπάνω τύπος ισχύει για την περίπτωση που η ευθεια ειναι εφαπτομένη ή εξωτερική του κύκλου.
Η σχετική θέση ευθείας και κύκλου είναι μην έχουν κανένα κοινό σημείο (εξωτερική ευθεία) οπότε η ελάχιστη απόσταση είναι \left| d\left( {K,\varepsilon } \right) - \rho  \right|,
να τέμνονται σε ένα σημείο (εφαπτομένη) οπότε η ελάχιστη απόσταση είναι πάλι 0 αφού \left| d\left( {K,\varepsilon } \right) - \rho  \right|=\left| \rho  - \rho  \right|=0
και τελος να τέμνονται σε 2 σημεία (τέμνουσα) όποτε η ελάχιστη απόσταση τους είναι 0.
Προφανώς μέγιστη απόσταση ευθείας και κύκλου δεν υπάρχει σε καμιά περίπτωση.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική στους "Μιγάδες"

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από parmenides51 » Τετ Ιουν 08, 2011 5:17 am

Για το ερώτημα 2:
KARKAR έγραψε: Αν b=1 , τότε y=x+1 , οπότε επειδή x\in[3,4] , η μέγιστη τιμή του |z-w| ισούται με το μήκος της διαμέτρου του κύκλου , δηλαδή 2

Ας συμπληρώσω ότι |z-w|=2 όταν οι μιγαδικοί z,w πάρουν τις τιμές z=5+4i και w=3+4i αντίστοιχα.

Φιλικά



Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης