Τρεις μιγαδικοί!

#1

Μία (κατά τη γνώμη μου) ενδιαφέρουσα άσκηση:

Έστωσαν οι μιγαδικοί $\displaystyle{x,y,z}$ με $\displaystyle{x\ne y\ne z\ne x}$ και $\displaystyle{|x|=|y|=|z|,|y+z-x|=|x|.}$

Να αποδειχθεί, ότι $\displaystyle{y+z=0.}$

Παναγιώτης 1729 · #2

Η άσκηση έχει ενδιαφέρουσα γεωμετρική ερμηνεία:

Αν θεωρήσουμε A,B,C τις εικόνες των x,y,z αντίστοιχα και Ο το περίκεντρό του, από τη σχέση |x|=|y|=|z|

προκύπτει ότι O θα είναι η αρχή του μιγαδικού επιπέδου.
Για να αποδείξουμε ότι y+z=0

, αρκεί να αποδείξουμε ότι τα B,C είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου (A,B,C)

.
Αρκεί λοιπόν να αποδείξω ότι το Ο είναι μέσο της ΒC.
Αν M το μέσο της BC, τότε το συμμετρικό Κ του Ο προς το M είναι η εικόνα του μιγαδικού y+z

, άρα από την δοσμένη συνθήκη AK=R

, όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.
Το τετράπλευρο BOCK

είναι ρόμβος, άρα KB=KC=OB=R

, άρα τα Κ,Ο ταυτίζονται.
Έτσι, το συμμετρικό του Ο προς το Μ είναι το ίδιο το Ο, άρα τα Μ,Ο ταυτίζονται και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

#3

matha έγραψε:Μία (κατά τη γνώμη μου) ενδιαφέρουσα άσκηση:

Έστωσαν οι μιγαδικοί $\displaystyle{x,y,z}$ με $\displaystyle{x\ne y\ne z\ne x}$ και $\displaystyle{|x|=|y|=|z|,|y+z-x|=|x|.}$

Να αποδειχθεί, ότι $\displaystyle{y+z=0.}$

Πράγματι Θάνο είναι ενδιαφέρουσα (παρ' ότι δεν αρχίζει με έστω συνάρτηση...). Το δυστύχημα είναι ότι δεν μπορώ να κάνω

σχήμα. Θα αφήσουμε όμως τη φαντασία μας να δουλέψει:

Τα x,y,z

έτσι όπως έχουν δοθεί απεικονίζονται στα σημεία A,B,Γ ενός κύκλου με κέντρο τη αρχή των αξόνων.

Ο αριθμός y+z

απεικονίζεται στο σημείο Μ

Έχουμε |y+z-x|=

MA, άρα ΜΑ=ΟΑ,άρα ΜΟ=0, άρα $M \equiv O$ , άρα τα σημεία Β,Γ είναι αντιδιαμετρικά* στον παραπάνω κύκλο

συνεπώς y+z=0

Μόλις έκανα προεπισκόπιση είδα πως με πρόλαβε ο καταπληκτικός Παναγιώτης. Θα αναρτήσω τη λύση μου όμως για να μην πάει

χαμένος ο κόπος

*Επειδή δεν μου αρέσει να αφήνω στη μέση τις δουλειές μου, παρακάλεσα τον Σεραφείμ να μου φτιάξει ένα σχήμα

(στο συννημένο), για να δούμε τι γίνεται αν τα Β, Γ δεν είναι αντιδιαμετρικά, άρα το ΟΑΜΒ είναι ρόμβος.

(ΟΑ=ΑΜ, άρα το Α βρίσκεται στη μεσοκάθετο του ΟΜ, συνεπώς Α $\equiv$ ή Α $\equiv$ Γ, άτοπο)

#4

Έστω $\displaystyle{A,B,C}$ οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών $\displaystyle{x,y,z}$ αντίστοιχα στο μιγαδικό επιπεδο. Τότε, διαδοχικά έχουμε ότι:

$\displaystyle{\left| {y + z - x} \right| = \left| x \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {OA} } \right|^2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} } \right)^2} = {\overrightarrow {OA} ^2} \Leftrightarrow {\overrightarrow {OB} ^2} + {\overrightarrow {OC} ^2} + {\overrightarrow {OA} ^2} + 2\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {OC} - 2\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} - 2\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OC} = {\overrightarrow {OA} ^2}}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow {\overrightarrow {OB} ^2} + {\overrightarrow {OC} ^2} + 2\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {OC} - 2\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} - 2\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OC} = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow 2{\overrightarrow {OA} ^2} + 2\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {2OA} \cdot \overrightarrow {OB} - 2\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OC} = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} } \right) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0.}$

Επομένως, ισοδύναμα έχουμε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ορθογώνιο στο $\displaystyle{A}$ , οπότε τα σημεία $\displaystyle{B,C}$ είναι αντιδιαμετρικά στον περιγεγραμμένο κύκλο του $\displaystyle{ABC.}$ Αφού, όμως, ο κύκλος αυτός έχει κέντρο την αρχή του μιγαδικού επιπέδου, θα είναι $\displaystyle{y + z = 0.}$

****** Παναγιώτη και Σπύρο, πολύ ωραίες οι γεωμετρικές λύσεις σας! Αφήνω και την (πεζή) δική μου για να μην πάει χαμένη η πληκτρολόγηση!

Τρεις μιγαδικοί!

Τρεις μιγαδικοί!

Re: Τρεις μιγαδικοί!

Re: Τρεις μιγαδικοί!

Re: Τρεις μιγαδικοί!

Μέλη σε σύνδεση