Απομεμακρυσμένα σημεία

KARKAR · #1

Το σημείο

, είναι η εικόνα του μιγαδικού

, ενώ για τον μιγαδικό

ισχύει : $|z-w|^{2}+|z+2+i|^{2}=17$ .

1) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του

.

2) Αν

, είναι το σύνολο εκείνων από τους παραπάνω

, για τους οποίους επιπλέον ισχύουν : $Re(z)\leq 0\; \kappa \alpha \iota \; Im(z)\leq 0$

βρείτε ποιος , από τους ανήκοντες στο

, βρίσκεται μακρύτερα του

, και ποιος πλησιέστερα προς το

.

Ντεφορμάρισμα : είναι Α(2,2)

Γιώργος Απόκης · #2

Μια απόπειρα για το 1)

Έστω A(a,b)

και

. Τότε, η δοσμένη σχέση γίνεται:

$\displaystyle{(x-a)^2+(y-b)^2+(x+2)^2+(y+1)^2=17}$ . Mετά από πράξεις...

$\displaystyle{x^2+y^2+(2-a)x+(1-b)y+\frac{a^2+b^2-12}{2}=0}$ (1)

Για να παριστάνει κύκλο η (1), πρέπει και αρκεί $\displaystyle{A^2+B^2-4\Gamma >0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow(2-a)^2+(1-b)^2-2(a^2+b^2-12)>0 \Leftrightarrow -a^2-b^2-4a-2b+29>0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow(a+2)^2+(b+1)^2<34}$ . Aυτό σημαίνει ότι το Α υποχρεωτικά ανήκει στο εσωτερικό
κύκλου με κέντρο Λ(-2,-1) και ακτίνα $d=\sqrt{34}$ .

Mε την προϋπόθεση αυτή, ο γ.τ. των εικόνων του z είναι ο κύκλος με κέντρο

$\displaystyle{K \left( \frac{a-2}{2},\frac{b-1}{2}\right )}$ και ακτίνα $\displaystyle{\rho=\frac{1}{2}\sqrt{-a^2-b^2-4a-2b+29}}$

Γιώργος Απόκης · #3

George73 έγραψε:Μια απόπειρα για το 1)

Έστω και . Τότε, η δοσμένη σχέση γίνεται:

$\displaystyle{(x-a)^2+(y-b)^2+(x+2)^2+(y+1)^2=17}$ . Mετά από πράξεις...

$\displaystyle{x^2+y^2+(2-a)x+(1-b)y+\frac{a^2+b^2-12}{2}=0}$ (1)

Για να παριστάνει κύκλο η (1), πρέπει και αρκεί $\displaystyle{A^2+B^2-4\Gamma >0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow(2-a)^2+(1-b)^2-2(a^2+b^2-12)>0 \Leftrightarrow -a^2-b^2-4a-2b+29>0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow(a+2)^2+(b+1)^2<34}$ . Aυτό σημαίνει ότι το Α υποχρεωτικά ανήκει στο εσωτερικό
κύκλου με κέντρο Λ(-2,-1) και ακτίνα $d=\sqrt{34}$ .

Mε την προϋπόθεση αυτή, ο γ.τ. των εικόνων του z είναι ο κύκλος με κέντρο

$\displaystyle{K \left( \frac{a-2}{2},\frac{b-1}{2}\right )}$ και ακτίνα $\displaystyle{\rho=\frac{1}{2}\sqrt{-a^2-b^2-4a-2b+29}}$

Για το 1)
Mε την νέα πληροφορία ότι το Α είναι το (2,2) έχουμε (με βάση τα προηγούμενα):

$\displaystyle{x^2+y^2-y-2=0}$ (1) η οποία παριστάνει κύκλο αφού

$\displaystyle{A^2+B^2-4\Gamma=9>0}$ με κέντρο $K(0,\frac{1}{2})$ και ακτίνα $\rho=\frac{3}{2}$

Για το 2)
Το σύνολο S είναι τα σημεία του τόξου MTN

.

To πιο "μακρινό" σημείο είναι το Τ (σχήμα). Για το Τ:
Έχω ότι $\displaystyle{(AK):y-2=\frac{3}{4}(x-2) \Leftrightarrow y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}$ .
Λύνοντας το σύστημα της ΑΚ με τον κύκλο, έχω (αποδεκτή λύση) την $\displaystyle{T\left ( -\frac{6}{5},-\frac{2}{5}\right )}$

Το πιο "κοντινό" σημείο είναι (από τα Μ και Ν) εκείνο που έχει ελάχιστη απόσταση από το Α.
Εύκολα έχουμε ότι: $\displaystyle{N\left (0,-1\right )}$ και $\displaystyle{M\left ( -\sqrt{2},0\right )}$ . Άρα
$\displaystyle{(AM)=\sqrt{10+4\sqrt{2}}}$ και $\displaystyle{(AN)=\sqrt{13}<(AM)}$ .

Tελικά, ο πιο κοντινός μιγαδικός είναι ο $\displaystyle{z_1=-i}$ και ο πιο μακρινός ο $\displaystyle{z_2=-\frac{6}{5}-\frac{2}{5}i}$

Χρήστος Λαζαρίδης · #4

Για την απλοποίηση των πράξεων μπορούμε να κάνουμε και το παρακάτω.
Έστω Β(-2,-1) και Κ(1/2,0) το μέσο του ΑΒ.
Από πρώτο θεώρημα διαμέσων προκύπτει:
$\displaystyle{(MA)^2 + (MB)^2 = 17 \Leftrightarrow 2(MK)^2 + \frac{{(AB)}}{2}^2 = 17 \Leftrightarrow 2(MK)^2 + \frac{25}{2} = 17 \Leftrightarrow (MK)^2 = \frac{{9}}{4}}$
Ο γ.τ είναι ο κύκλος κέντρου Κ και ακτίνας $\displaystyle{\frac{{\ {3} }}{2}}$

Φιλικά Χρήστος
Eκανα τις διορθώσεις μετά τις παρεμβάσεις Γιώργου και Carcar

Γιώργος Απόκης · #5

Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:Για την απλοποίηση των πράξεων μπορούμε να κάνουμε και το παρακάτω.
Έστω Β(-2,1) και Κ(1/2,0) το μέσο του ΑΒ.
Από πρώτο θεώρημα διαμέσων προκύπτει:
$\displaystyle{(MA)^2 + (MB)^2 = 17 \Leftrightarrow 2(MK)^2 + \frac{{(AB)}}{2}^2 = 17 \Leftrightarrow 2(MK)^2 + \frac{{17}}{2} = 17 \Leftrightarrow (MK)^2 = \frac{{17}}{4}}$
Ο γ.τ είναι ο κύκλος κέντρου Κ και ακτίνας $\displaystyle{\frac{{\sqrt {17} }}{2}}$

Φιλικά Χρήστος

Φίλε Χρήστο, πολύ όμορφη λύση για το 1) απλώς είναι B(-2,-1)

, $K(0,\frac{1}{2})$ και (AB)=5

, άρα φτάνουμε στο $(MK)=\frac{3}{2}$

Απομεμακρυσμένα σημεία

Απομεμακρυσμένα σημεία

Re: Απομεμακρυσμένα σημεία

Re: Απομεμακρυσμένα σημεία

Re: Απομεμακρυσμένα σημεία

Re: Απομεμακρυσμένα σημεία

Μέλη σε σύνδεση