Μιγαδικοί(Δελτίο Νο:6)

Ιστοσελίδα · #1

Για τον μιγαδικό αριθμό $\displaystyle{z = x + yi}$ με $\displaystyle{x,y \in \Re }$ ισχύει η σχέση:
$\displaystyle{(1 - \lambda i)z = 4 - 2i}$ , $\displaystyle{\lambda \in \Re }$

α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{(x + \lambda y) + ( - \lambda x + y)i = 4 - 2i}$

β) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του $\displaystyle{{\rm M}(x,y)}$ του $\displaystyle{z}$ ανήκει σε κύκλο.

γ) Μπορεί το σημείο $\displaystyle{{\rm M}(x,y)}$ να πάρει την θέση $\displaystyle{O(0,0)}$ ;

#2

Έχουμε ότι:
$\displaystyle{(1 - \lambda i)z = 4 - 2i \Leftrightarrow (1 - \lambda i)(x+yi) = 4 - 2i \Leftrightarrow (x+\lambda y) + (-\lambda x + y)i = 4-2i \Leftrightarrow x+\lambda y=4,-\lambda x + y=-2 (I)}$ , $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ .

α) Συνεπώς από τις (Ι) έχουμε: $\displaystyle{(x + \lambda y) + ( - \lambda x + y)i = 4 - 2i}$

β) Λύνουμε το σύστημα των (Ι) ως προς x, y και έχουμε:
$\displaystyle{(x,y)=\left( \frac{D_x}{D},\frac{D_y}{D}\right)=\left( \frac{2\lambda+4}{\lambda^2+1},\frac{4\lambda-24}{\lambda^2+1}\right), \lambda \in \mathbb{R}}$ .
Ισχύει:
$\displaystye{(x-2)^2+(y+1)^2=\left(\frac{2\lambda +4}{\lambda ^2+1}-2 \right)^2+\left(\frac{4\lambda -2}{\lambda ^2+1}+1 \right)^2=\left(\frac{-2\lambda^2 +2 \lambda +2}{\lambda ^2+1}\right)^2+\left(\frac{\lambda^2+4\lambda -1}{\lambda ^2+1}\right)^2= ... = 5}$ , άρα η εικόνα του $\displaystyle{{\rm M}(x,y)}$ του $\displaystyle{z}$ ανήκει στον κύκλο κέντρου Κ(2, -1) με ακτίνα $\sqrt{5}$ .

γ) Έστω ότι (x,y)=(0,0)

.
Τότε από την σχέση $(1 - \lambda i)z = 4 - 2i$ προκύπτει ότι 0=4-2i

, άτοπο.
Συνεπώς το σημείο $\displaystyle{{\rm M}(x,y)}$ δεν μπορεί να πάρει την θέση $\displaystyle{O(0,0)}$ .

Υ.Γ. Πως θα ήταν καλύτερα να δικαιολογήσει ένας μαθητής σε επίσημο γραπτό την εύρεση του κέντρου του κύκλου; Το έχουμε ξανασυζητήσει νομίζω, αλλά δεν το βρίσκω.

Γιώργος Απόκης · #3

α) Αφού

, έχουμε $(x+yi)(1-\lambda i)=4-2i \Leftrightarrow (x+\lambda y)+(y-\lambda x)i=4-2i$

β) Από την προηγούμενη προκύπτει το σύστημα $\begin{cases} x+\lambda y=4 \\ y-\lambda x=-2 \end{cases}$ με λύση

$\displaystyle{x=\frac{2\lambda +4}{\lambda^2+1},y=\frac{4\lambda -2}{\lambda^2+1}}$ . Tότε, έχουμε:

$\displaystyle{(x-2)^2+(y+1)^2=...=5}$ , δηλ. σε κύκλο με $K(2,-1),\rho=\sqrt{5}$ .

Edit: Είδα ότι η λύση μου είναι ίδια με του Λευτέρη... την αφήνω και θα επανέλθω με πιο "φυσιολογικό" τρόπο για το β).

Γιώργος Απόκης · #4

Για το β) (άλλος τρόπος)

Για $\lambda \ne \frac{1}{2}$ , έχουμε $\displaystyle{\frac{x}{y}=\frac{2\lambda+4}{4\lambda-2} \Leftrightarrow \lambda=\frac{4y+2x}{4x-2y}}$ . Iσχύει $4x-2y \ne 0 \Leftrightarrow y\ne 2x$ γιατί τότε από τις εκφράσεις των x,y
προκύπτει -2=8

(άτοπο).

Αντικαθιστώντας στην λύση για το x, έχουμε: $\displaystyle{x=\frac{2\frac{4y+2x}{4x-2y}+4}{\left(\frac{4y+2x}{4x-2y} \right)^2+1}\Leftrightarrow ... \Leftrightarrow x=\frac{20x(4x-2y)}{20(x^2+y^2)}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x(x^2+y^2)=x(4x-2y)}$ . Για $x\ne 0$ έχουμε x^2+y^2-4x+2y=0

...

Για $\lambda=\frac{1}{2}$ , προκύπτει (x,y)=(4,0)

που ανήκει στον κύκλο.

Μιγαδικοί(Δελτίο Νο:6)

Μιγαδικοί(Δελτίο Νο:6)

Re: Μιγαδικοί

Re: Μιγαδικοί

Re: Μιγαδικοί

Μέλη σε σύνδεση