Ανισότητα με μέτρα μιγαδικών

#1

Αν $\displaystyle{ z_1 ,z_2 ,z_3 }$ μιγαδικοί,όχι άνα δύο αντίθετοι και όχι ταυτόχρονα μηδενικοί, να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{ \frac{{|z_1 |}}{{\left| {z_2 + z_3 } \right|}} + \frac{{|z_2 |}}{{\left| {z_1 + z_3 } \right|}} + \frac{{|z_3 |}}{{\left| {z_1 + z_2 } \right|}} \ge \frac{3}{2} }$

Με την καληνύχτα μου.

Eukleidis · #2

Είναι $\displaystyle{\left| {{z_2} + {z_3}} \right| \leqslant \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| \Rightarrow \tfrac{1}{{\left| {{z_2} + {z_3}} \right|}} \geqslant \tfrac{1}{{\left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right|}} \Rightarrow \tfrac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2} + {z_3}} \right|}} \geqslant \tfrac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right|}}}$ και κυκλικά αρκεί να αποδείξουμε ότι:

$\displaystyle{\sum {\tfrac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right|}}} \geqslant \tfrac{3}{2} \Leftarrow \sum {\tfrac{{{{\left| {{z_1}} \right|}^2}}}{{\left| {{z_2}} \right|\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_1}} \right|\left| {{z_3}} \right|}}} \geqslant \tfrac{3}{2}}$ που ισχύει αφού $\displaystyle{\sum {\tfrac{{{{\left| {{z_1}} \right|}^2}}}{{\left| {{z_2}} \right|\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_1}} \right|\left| {{z_3}} \right|}}} \geqslant \tfrac{{{{\left( {\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right|} \right)}^2}}}{{2\left( {\left| {{z_2}} \right|\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_1}} \right|\left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\left| {{z_3}} \right|} \right)}} \geqslant \tfrac{3}{2}}$ , λαμβάνοντας υπ όψιν πως $\displaystyle{{\left( {a + b + c} \right)^2} \geqslant 3\left( {ab + bc + ca} \right)}$

#3

chris_gatos έγραψε:Αν $\displaystyle{ z_1 ,z_2 ,z_3 }$ μιγαδικοί,όχι άνα δύο αντίθετοι και όχι ταυτόχρονα μηδενικοί, να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{ \frac{{|z_1 |}}{{\left| {z_2 + z_3 } \right|}} + \frac{{|z_2 |}}{{\left| {z_1 + z_3 } \right|}} + \frac{{|z_3 |}}{{\left| {z_1 + z_2 } \right|}} \ge \frac{3}{2} }$

Αλλιώς: Αρκεί να αποδείξουμε $\displaystyle{ \frac{|z_1 |}{|z_2| + |z_3| } + \frac{|z_2 |}{|z_1| + |z_3| } + \frac{|z_3 |}{|z_1| + |z_2| } \ge \frac{3}{2}}$ .

Αλλά αυτή είναι έτοιμη ανοσότητα, η λεγόμενη Nesbitt $\displaystyle{\frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+a} +\frac{c}{a+b}\ge \frac {3}{2}$ για a,b,c >0

. Βλέπε

http://en.wikipedia.org/wiki/Nesbitt%27s_inequality

όπου υπάρχουν 5 απλές αποδείξεις (υπάρχουν και άλλες).

Φιλικά,

Μιχάλης

Ανισότητα με μέτρα μιγαδικών

Ανισότητα με μέτρα μιγαδικών

Re: Ανισότητα με μέτρα μιγαδικών

Re: Ανισότητα με μέτρα μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση