Μιγαδικοί-ένα θέμα από πολυτεχνείο

mathxl · #1

Αν $\displaystyle{\left| z \right| < 1}$ και τα σημεία $\displaystyle{1 - z,1 - {z^2},1 - {z^3}}$ στο μιγαδικό επίπεδο ορίζουν τρίγωνο, τότε η αρχή των αξόνων κείται εκτός του τριγώνου

#2

Με δεδομένο ότι |z|<1, τα πραγματικά μέρη των μιγαδικών $1-z , 1-z^{2} , 1-z^{3}$ είναι θετικά. Επομένως το Ο(0,0) είναι σημείο εκτός του τριγώνου/

#3

Persona_Non_Grata έγραψε:Με δεδομένο ότι |z|<1, τα πραγματικά μέρη των μιγαδικών $1-z , 1-z^{2} , 1-z^{3}$ είναι θετικά. Επομένως το Ο(0,0) είναι σημείο εκτός του τριγώνου/

Κομψότατη η παραπάνω λύση. Ευχαριστούμε Σεραφείμ.

Άλλη μία, πιo πεζή: Θέλουμε να δείξουμε ότι δεν υπάρχει κυρτός συνδυασμός
των τριών μιγαδικών με $a(1-z) + b(1-z^{2}) + c(1-z^{3}) = 0$ . Εδώ
a + b + c = 1, a, b, c θετικά. Πράγματι
$|a(1-z) + b(1-z^{2}) + c(1-z^{3})| = | 1 - (az + bz^2 + cz^3)| \ge 1 - (|az| + |bz^2| + |cz^3|) > 1 - (|a| + |b| + |c|) = 0$ .

Φιλικά,

Μιχάλης.

papel · #4

Persona_Non_Grata έγραψε:Με δεδομένο ότι |z|<1, τα πραγματικά μέρη των μιγαδικών $1-z , 1-z^{2} , 1-z^{3}$ είναι θετικά. Επομένως το Ο(0,0) είναι σημείο εκτός του τριγώνου/

Ο Σεραφειμ αναφερει οτι τα πραγματικα μερη ειναι θετικα.Γιατι ομως ;
Ας γραψουμε τον μιγαδικο σε τριγωνομετρικη μορφη $\displaystyle{\displaystyle z = r \cdot \left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)}$
με $\displaystyle{\displaystyle r = \left| z \right| < 1}$ και $\displaystyle{\displaystyle - \pi \le \theta \le \pi }$ .Εχουμε λοιπον :

$\displaystyle{\displaystyle 1 - z = (1 - r\cos \theta ) - ir\sin \theta }$

$\displaystyle{\displaystyle 1 - {z^2} = (1 - {r^2}\cos 2\theta ) - i{r^2}\sin 2\theta }$

$\displaystyle{\displaystyle 1 - {z^3} = (1 - {r^3}\cos 3\theta ) - i{r^3}\sin 3\theta }$

Απο τις τελευταιες σχεσεις εχουμε :

$\displaystyle{\displaystyle 1 - r\cos \theta \ge 1 - r > 0}$

$\displaystyle{\displaystyle 1 - {r^2}\cos \theta \ge 1 - {r^2} > 0}$

$\displaystyle{\displaystyle 1 - {r^3}\cos \theta \ge 1 - {r^3} > 0}$

Αρα τωρα βλεπουμε γιατι τα πραγματικα μερη ειναι θετικα.Επομενως τα σημεια Α,Β,Γ ειναι δεξια του αξονα ψψ'
και επομενως το σημειο Ο δεν ειναι εσωτερικο του τριγωνου.

mathxl · #5

Πολύ ωραία τα παραπάνω, μία άλλη δικαιολόγηση για το θετικό των πραγματικών μερών μέσα από γεωμετρικούς τόπους
Είναι
$\displaystyle{\left| z \right| < 1 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {\left| z \right| < 1} \\ {{{\left| z \right|}^2} < 1} \\ {{{\left| z \right|}^3} < 1} \\ \end{array} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {\left| z \right| < 1} \\ {\left| {{z^2}} \right| < 1} \\ {\left| {{z^3}} \right| < 1} \\ \end{array}}$
Θέτουμε $\displaystyle{1 - {z^2} = w,1 - {z^3} = u,$ 1 - z = v

απόπου παίρνουμε $\displaystyle{{z^2} = 1 - w,{z^3} = 1 - u,z=1-v}$
Σχέσεις οι οποίες όταν αξιοποιούνται με μέτρα, δίνουν $\displaystyle{\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {1-v} \right| < 1} \\ {\left| {1 - w} \right| < 1} \\ {\left| {1 - u} \right| < 1} \\ \end{array} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {\left| {v-1} \right| < 1} \\ {\left| {w - 1} \right| < 1} \\ {\left| {u - 1} \right| < 1} \\ \end{array}}$
Που σημαίνει ότι οι εικόνες των τριών μιγαδικών-κορυφών του τριγώνου, είναι εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Κ(1,0) και ακτίνας ρ=1.

p_gianno · #6

Μια παρεμφερής αντιμετώπιση

migadikoi math xl.pdf: (34.92 KiB) Μεταφορτώθηκε 131 φορές

Καλησπέρα
Π.Γ

#7

|z|<1 $\Rightarrow$ οι εικόνες των $z , z^{2} , z^{3}$ βρίσκονται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου, άρα ισχύει -1<Re( $z , z^{2} , z^{3}$ )<1 και ο ισχυρισμός είναι προφανής.

Μιγαδικοί-ένα θέμα από πολυτεχνείο

Μιγαδικοί-ένα θέμα από πολυτεχνείο

Re: Μιγαδικοί-ένα θέμα από πολυτεχνείο

Re: Μιγαδικοί-ένα θέμα από πολυτεχνείο

Re: Μιγαδικοί-ένα θέμα από πολυτεχνείο

Re: Μιγαδικοί-ένα θέμα από πολυτεχνείο

Re: Μιγαδικοί-ένα θέμα από πολυτεχνείο

Re: Μιγαδικοί-ένα θέμα από πολυτεχνείο

Μέλη σε σύνδεση