Mιγαδικοί-ακόμη ένα θέμα από το πολυτεχνείο

mathxl · #1

'Εστω $\displaystyle{a,b \in {C^ * }}$ και $\displaystyle{\left| a \right| = \left| b \right|}$ . Δείξτε ότι τα παραστατικά σημεία των μιγαδικών $\displaystyle{w = {\left( {a + b} \right)^2},u = {\left( {a - b} \right)^2}}$ ορίζουν ευθεία που περιέχει την αρχή των αξόνων

#2

Λύση και γενίκευση για ν-οστή δύναμη

#3

mathxl έγραψε:'Εστω $\displaystyle{a,b \in {C^ * }}$ και $\displaystyle{\left| a \right| = \left| b \right|}$ . Δείξτε ότι τα παραστατικά σημεία των μιγαδικών $\displaystyle{w = {\left( {a + b} \right)^2},u = {\left( {a - b} \right)^2}}$ ορίζουν ευθεία που περιέχει την αρχή των αξόνων

Mathxl, είπες παππού τον έφηβο και του έριξες την ψυχολογία! Τέσσερες μέρες τώρα, δεν μπορούμε να τον φέρουμε στα ίσα του! Αποκατάστησέ τον!

mathxl · #4

rek2 έγραψε:
mathxl έγραψε:'Εστω $\displaystyle{a,b \in {C^ * }}$ και $\displaystyle{\left| a \right| = \left| b \right|}$ . Δείξτε ότι τα παραστατικά σημεία των μιγαδικών $\displaystyle{w = {\left( {a + b} \right)^2},u = {\left( {a - b} \right)^2}}$ ορίζουν ευθεία που περιέχει την αρχή των αξόνων
Mathxl, είπες παππού τον έφηβο και του έριξες την ψυχολογία! Τέσσερες μέρες τώρα, δεν μπορούμε να τον φέρουμε στα ίσα του! Αποκατάστησέ τον!

Νομίζω ότι η ψυχή του είναι όντως εφηβική, απλά επειδή η δική μου είναι ακόμη παιδική μου φάνηκε μεγαλύτερος- παππούς

.Τελοσπάντων, φρονώ ότι έχει τους "μηχανισμούς" να ανταπεξέλθει πολύ άνετα από τέτοιους φαιδρούς χαρακτηρισμούς. Κάπου εδώ σταματώ την "παραφιλολογεία" και πάω στην άσκηση

Περσόνα νον γκράτα, διδακτική η γενίκευση σου, σε ευχαριστώ. Είχα υπόψη ακριβώς την ίδια λύση βέβαια μόνο για ν=2.

Μία άλλη προσέγγιση
$\displaystyle{\begin{array}{l} \left| a \right| = \left| b \right| \Leftrightarrow \left| a \right| - \left| b \right| = 0 \Leftrightarrow {\left( {\left| a \right| - \left| b \right|} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {\left| a \right|^2} + {\left| b \right|^2} = 2\left| {ab} \right| \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2{\left| a \right|^2} + 2{\left| b \right|^2} = 4\left| {ab} \right| \Leftrightarrow \\ \mathop \Leftrightarrow \limits_{\sigma \varepsilon \lambda .101}^{\sigma \chi o\lambda .\alpha \sigma \kappa .} {\left| {a + b} \right|^2} + {\left| {a - b} \right|^2} = \left| {4ab} \right| \Leftrightarrow \\ \end{array}}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left| {a + b} \right|^2} + {\left| {a - b} \right|^2} = \left| {{{\left( {a + b} \right)}^2} - {{\left( {a - b} \right)}^2}} \right| \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left| {{{\left( {a + b} \right)}^2}} \right| + \left| {{{\left( {a - b} \right)}^2}} \right| = \left| {{{\left( {a + b} \right)}^2} - {{\left( {a - b} \right)}^2}} \right| \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left| w \right| + \left| u \right| = \left| {w - u} \right| \\ \end{array}}$
Αν Α και Β οι εικόνες των w,u αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο τότε έχουμε $\displaystyle{\left| {\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} } \right| + \left| {\overrightarrow {{\rm O}{\rm B}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} - \overrightarrow {{\rm O}{\rm B}} } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} } \right| + \left| {\overrightarrow {{\rm O}{\rm B}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{\rm B}{\rm A}} } \right|}$ , που σημαίνει ότι Α,Ο,Β συνευθειακά σημεία με το Ο ανάμεσα στα Α,Β

mathxl · #5

Ακόμη μία προσέγγιση
Αν Α η εικόνα του α, Β του β, Γ του α+β τότε το τετράπλευρο ΟΑΓΒ είναι ρόμβος αφού είναι παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες, οπότε οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα.Δηλαδή α+β κάθετο στο β-α οπότε και στο α-β
Θα ισχύει
arg(α+β)/(α-β)=2κπ+π/2 πολλαπλασιάζουμε με 2 τα μέλη και έχουμε $\displaystyle{\arg \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = 4k\pi + \pi = \left( {4k + 1} \right)\pi }$ , οπότε ο w/u αρνητικός πραγματκός(επειδή η διαφορά των ορισμάτων τους είναι περιττές φορές το π), συνεπώς οι μιγαδικοί μας έχουν τις εικόνες τους συνευθειακές με το Ο με αντίροπες διανυσματικές ακτίνες και βρίσκονται εκατέρωθεν του.

Mιγαδικοί-ακόμη ένα θέμα από το πολυτεχνείο

Mιγαδικοί-ακόμη ένα θέμα από το πολυτεχνείο

Re: Mιγαδικοί-ακόμη ένα θέμα από το πολυτεχνείο

Re: Mιγαδικοί-ακόμη ένα θέμα από το πολυτεχνείο

Re: Mιγαδικοί-ακόμη ένα θέμα από το πολυτεχνείο

Re: Mιγαδικοί-ακόμη ένα θέμα από το πολυτεχνείο

Μέλη σε σύνδεση