Απορία σε άσκηση γεωμετρικού τόπου

styt_geia · #1

Άσκηση

Έστω οι μιγαδικοί $z, \, z_1=(\lambda-i)\bar{z} +3\lambda Re(z)$ και $\displaystyle z_2=\frac{2(1+\lambda^2}{1-\lambda i}, \, \lambda \in \mathbb{R}^*$ . Να δείξετε ότι αν το $\lambda$ μεταβάλλεται στο $\mathbb{R}^*$ και ισχύει $z_1=\bar{z}_2$ , τότε η εικόνα του

στο μιγαδικό επίπεδο κινείται σε μια έλλειψη.

Η λύση μου έχει ως εξής:

Αντικαθιστούμε z=x+iy

στις δοσμένες σχέσεις και εξισώνοντας πραγματικά και φανταστικά μέρη στην σχέση $z_1=\bar{z}_2$ παίρνουμε

$\left\{\begin{matrix} \lambda y +x=2\lambda \, (1) \\ 4\lambda x - y=2 \, (2) \end{matrix}\right.$

Αν x=0

τότε από (1) προκύπτει ότι y =2

αφού $\lambda \neq 0$ . Αντικαθιστώντας όμως στην (2) x=0

προκύπτει ότι y=-2

άτοπο. Επομένως $x \neq 0$ οπότε

$\left\{\begin{matrix} \lambda y +x=2\lambda \\ \lambda=\frac{y+2}{4x}, \, x \neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{4-y^2}{4x}=x \\ \lambda=\frac{y+2}{4x}, \, x \neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 4x^2+y^2=4, \, x \neq 0(*)$

H (*) παριστάνει έλλειψη με εστίες $E(0,-\sqrt{3}), \, E' ( 0, \sqrt{3} )$ από την οποία εξαιρούνται τα σημεία (0,-2),(0,2)

Η διαφορά με την λύση του βοηθήματος στο οποίο την βρήκα είναι ότι όταν φθάνει στο σύστημα συνεχίζει ως εξής:

$\left\{\begin{matrix} \lambda y +x=2\lambda \, (1) \\ 4\lambda x - y=2 \, (2) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\lambda(2-y) \\ 4\lambda x = y+2 \end{matrix}\right.$

και απλά πολλαπλασιάζει τις δύο σχέσεις οπότε φθάνει στην ίδια εξίσωση έλλειψης αλλά χωρίς να εξαιρεί κάποιο σημείο. Γιατί συμβαίνει αυτό; Είμαι σίγουρος ότι έχω κάνει κάποιο λογικό σφάλμα και θα ήθελα κάποιος να μου το υποδείξει. Ευχαριστώ

Κώστας

chris · #2

Καλησπέρα!

Αν παρατηρήσεις η εκφώνηση αναφερει τη λέξη κινείται...δηλαδή ζητάει να βρούμε που κινείται η εικόνα του μιγαδικού

.Σε τέτοιες περιπτώσεις όπου ψάχνουμε να βρούμε που κινείται ή που ανήκει η εικόνα του

δν μας ενδιαφέρει το αντίστροφο δηλαδή οι ισοδυναμίες(συνήθως χρησιμοποιούμε συνεπαγωγές) και επομένως δν χρειάζεται να εξαιρέσουμε κάποια σημεία άσχετα αν αυτό που βρήκαμε είναι κύκλος,ευθεία,έλλειψη κτλ.

Αντίθετα αν στην εκφώνηση ζητούνταν να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του

τότε οπωσδήποτε θα έπρεπε να εξαιρέσουμε τα σημεία που προανέφερες και να παίρναμε όλους τους περιορισμούς που θα βρίσκαμε στο δρόμο μας και ενδεχομένως υπάρχουν, αλλιώς η απάντησή μας θα ήταν ελλιπής.Οταν αναφέρεται η λέξη γεωμετρικός τόπος δουλεύουμε πάντοτε με ισοδυναμίες διότι μας ενδιαφέρει και το αντίστροφο.

Σε αυτές τις ασκήσεις αυτή η λεπτομέρεια στην εκφώνηση είναι πολύ σημαντική και πρέπει να προσεχθεί ιδιαίτερα!
Επομένως το βιβλίο σωστά δν εξαιρεί κανένα σημείο διότι έτσι όπως είναι η εκφώνηση μας ενδιάφερει το ευρύτερο "σχήμα" στο οποίο ανήκουν οι εικόνες του

και όχι όλα τα σημεία.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ελπίζω να έλυσα την απορία σου αλλιώς εδώ είμαστε.

Φιλικά

Α.Κυριακόπουλος · #3

chris έγραψε:Καλησπέρα!

Αν παρατηρήσεις η εκφώνηση αναφερει τη λέξη κινείται...δηλαδή ζητάει να βρούμε που κινείται η εικόνα του μιγαδικού .Σε τέτοιες περιπτώσεις όπου ψάχνουμε να βρούμε που κινείται ή που ανήκει η εικόνα του δν μας ενδιαφέρει το αντίστροφο δηλαδή οι ισοδυναμίες(συνήθως χρησιμοποιούμε συνεπαγωγές) και επομένως δν χρειάζεται να εξαιρέσουμε κάποια σημεία άσχετα αν αυτό που βρήκαμε είναι κύκλος,ευθεία,έλλειψη κτλ.

Αντίθετα αν στην εκφώνηση ζητούνταν να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του τότε οπωσδήποτε θα έπρεπε να εξαιρέσουμε τα σημεία που προανέφερες και να παίρναμε όλους τους περιορισμούς που θα βρίσκαμε στο δρόμο μας και ενδεχομένως υπάρχουν, αλλιώς η απάντησή μας θα ήταν ελλιπής.Οταν αναφέρεται η λέξη γεωμετρικός τόπος δουλεύουμε πάντοτε με ισοδυναμίες διότι μας ενδιαφέρει και το αντίστροφο.

Σε αυτές τις ασκήσεις αυτή η λεπτομέρεια στην εκφώνηση είναι πολύ σημαντική και πρέπει να προσεχθεί ιδιαίτερα!
Επομένως το βιβλίο σωστά δν εξαιρεί κανένα σημείο διότι έτσι όπως είναι η εκφώνηση μας ενδιάφερει το ευρύτερο "σχήμα" στο οποίο ανήκουν οι εικόνες του και όχι όλα τα σημεία.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Ενα παράδειγμα:
Δινονται οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει : $\displaystyle w=\frac{z+4i}{z-2}$
A)Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους $w \in \mathbb{R}$
B)Να βρεθεί που κινείται η εικόνα του όταν $w \in \mathbb{R}$ .

Με έχουμε: $\displaystyle w=\frac{x+(y+4)i}{x-2+yi}=...=\frac{x^2+y^2-2x+4y}{(x-2)^2+y^2}+\frac{4x-2y-8}{(x-2)^2+y^2}i$
A)
$\displaystyle w\in \mathbb{R}\Leftrightarrow 4x-2y-8=0\Leftrightarrow 2x-y-4=0$
Αρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η ευθεία: $\displaystyle (\varepsilon ):2x-y-4=0$ εξαιρουμένου του σημείου (λογω παρανομαστή).

Β)
$\displaystyle w\in \mathbb{R}\Rightarrow 4x-2y-8=0\Rightarrow 2x-y-4=0$
Αρα η εικόνα του κινείται στην ευθεία $\displaystyle (\varepsilon ):2x-y-4=0$ .
Ελπίζω να έλυσα την απορία σου αλλιώς εδώ είμαστε.

Φιλικά

Χρήστο, στη λύση που έχεις στο παράδειγμα στην «απόκρυψη κειμένου»:
Α) $w \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x \ne 2\dot \eta y \ne 0) \\ 4x - 2y - 8 = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x,y) \ne (2,0) \\ 2x - y - 4 = 0 \\ \end{array} \right.$
Άρα…

styt_geia · #4

Χρήστο ευχαριστώ για την απάντησή σου. Νομίζω ότι κατάλαβα την διαφορά. Ευχαριστώ και τον κύριο Αντώνη για την επισήμανση.

Απορία σε άσκηση γεωμετρικού τόπου

Απορία σε άσκηση γεωμετρικού τόπου

Re: Απορία σε άσκηση γεωμετρικού τόπου

Re: Απορία σε άσκηση γεωμετρικού τόπου

Re: Απορία σε άσκηση γεωμετρικού τόπου

Μέλη σε σύνδεση