Γεωμετρικός τόπος

Ardid · #1

Δίνεται ο μιγαδικός $u=\frac{z+w}{z-w}$ με $w\in C , z\neq w$ .
i) Αν |u|=1

, να δείξετε ότι $z\bar{w}\in I$
ii) Αν

ημθ + iσυνθ και w=2-3i

, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του

.

Για την εύρεση του γεωμετρικού τόπου είναι απαραίτητες οι ισοδυναμίες, οι οποίες χάνονται όταν παίρνουμε το μέτρο του

. Όταν βρούμε πού κινούνται οι εικόνες (βγαίνει σε ευθεία), πώς μπορούμε να "γυρίσουμε" πίσω, για να απαντήσουμε τελικά ότι ο γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία; Είναι απαραίτητη αυτή η διαδικασία; Στο σχολείο βρήκαμε απλώς την εξίσωση της ευθείας και ο καθηγητής δεν ανέφερε τίποτα σχετικό.

edit: Διόρθωση στην εκφώνηση

S.E.Louridas · #2

Απλά θα μου επιτρέψεις να σου αναφέρω ότι η διαδικασία επίλυσης ενός γεωμετρικού τόπου αποτελείται από τα εξής βήματα:

1) ΑΝΑΛΥΣΗ
2) ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ, εφ' όσον είναι δυνατή (αν δεν είναι περιγράφουμε με ακρίβεια το σύνολο σημείων που κινείται το τυχόν σημείο με τις συγγεκριμμένες ιδιότητες)
3) ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ
4) ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

(*) Σε πολλές περιπτώσεις αναφερόμαστε στίς πιθανές ειδικές θέσεις του γεωμετρικού τόπου (οριακά σημεία κ.τ.λ.).

(**) Τουλάχιστον τα "μπλέ" βήματα θεωρούνται υποχρεωτικά σε περιπτώσεις γ. τόπων.

S.E.Louridas

Ardid · #3

Θα μπορούσατε να γράψετε πώς στην συγκεκριμένη περίπτωση θα κάνουμε το αντίστροφο;

chris · #4

Θα χρησιμοποιήσω μόνο ισοδυναμίες ώστε να μην χρειαστεί ο έλεγχος του αντιστρόφου (ή μάλλον θα έχει ήδη γίνει με τη χρήση ισοδυναμίας)...για το δεύτερο ερώτημα πάντα:

$\displaystyle u=\frac{z+w}{z-w}\stackrel{u\neq 0}\Leftrightarrow u\bar{u}=\frac{z+w}{z-w}\cdot \frac{\bar{z}+\bar{w}}{\bar{z}-\bar{w}}\Leftrightarrow \left|u \right|^2=\frac{\left|z+w \right|^2}{\left|z-w \right|^2}\stackrel{\left|u \right|=1}\Leftrightarrow \left|z-(2-3i) \right|=\left|z-(-2+3i) \right|$

Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του

είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος

με

και

δηλαδή η ευθεία: 6y-4x=0

Άλλος τρόπος είναι να θέσεις z=x+yi

και να φέρεις με πράξεις (εύκολο) τον

στην μορφή u=a+bi

(τα

συναρτήσει των x,y

) και έπειτα αφού $\boxed{a^2+b^2=1}:(1)$ να προκύψει το ζητούμενο με αντικατάσταση σε αυτή τη σχέση....(θα πεις η (1)

ισοδύναμα γίνεται κτλ..)..Αν θέλεις στο δείχνω αναλυτικότερα.

Επιπλέον στο πρώτο ερώτημα μάλλον είναι : $z\bar{w}\in \mathbb{I}$

Φιλικά

Ardid · #5

Ευχαριστώ για τη βοήθεια! Αναφορικά με το δεύτερο τρόπο, ουσιαστικά δεν υψώνουμε στο τετράγωνο τις σχέσεις ημθ

και συνθ

, οπότε χάνεται η ισοδυναμία;

edit: Αναδιατύπωση

parmenides51 · #6

Ardid έγραψε:Ευχαριστώ για τη βοήθεια! Αναφορικά με το δεύτερο τρόπο, ουσιαστικά δεν υψώνουμε στο τετράγωνο τις σχέσεις ημθ και συνθ, οπότε χάνεται η ισοδυναμία;

edit: Αναδιατύπωση

Οχι, δεν κάνουμε αυτό παρά αφού εκφράσουμε τις συντεταγμένες των $\displaystyle{a,b}$ ως προς τις μεταβλητές $\displaystyle{x,y}$ τις αντικαθιστούμε ταυτόχρονα στην εξίσωση $\displaystyle{a^2+b^2=1}$ και δεν χάνεται κάποια ισοδυναμία για τον λόγο πως η δοσμένη σχέση $\displaystyle{|u|=1}$ είναι ισότητα μέτρων κι όχι ισότητα μιγαδικών.

Η ισοδυναμία χάνεται πχ. σε ισότητα διανυσμάτων / μιγαδικών όταν βάζουμε μέτρα και στα δυο μελής μιας ισότητας, κι όχι όταν υψώνουμε μέτρα στο τετράγωνο.

Δηλαδή ισχύουν τα παρακάτω :

$\displaystyle{z_1=z_2\Rightarrow |z_1|=|z_2|}$

$\displaystyle{\vec{a}=\vec{b}\Rightarrow |\vec{a}|=|\vec{b}|}$

$\displaystyle{|z_1|=|z_2|\Leftrightarrow |z_1|^2=|z_2|^2 \Leftrightarrow z_1\bar{z_1}=z_2\bar{z_2}}$

edit: Επειδή απάντησα κοιτώντας το πρώτο ερώτημα, ας συμπληρώσω λέγοντας πως οι σχέσεις $\displaystyle{|u|=1}$ και $\displaystyle{u=\eta \mu \theta +i\sigma \upsilon \nu \vartheta }$ είναι ισοδύναμες,
οπότε το παρόν σχόλιο απαντά και στο ερώτημα σου σχετικά με το δεύτερο.

Γεωμετρικός τόπος

Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση