Εξίσωση στο C

Σακης · #1

Από βιβλίο του Χ. Πατήλα

Να λυθεί στο

η εξίσωση:

$1+\overline{z}+z+\overline{z}^2 +z^2+\overline{z}^3=0$

#2

Έστω $z\in\mathbb C$ λύση. Παίρνουμε συζυγείς και εξισώνουμε καταλήγοντας στην $z^3=\bar{z}^3$ άρα $(z-\bar{z})(z^2+z\bar{z}+\bar{z}^2)=0$ , άρα $z=\bar{z}$ , ή $z^2+z\bar{z}+\bar{z}^2=0$ . Θέτουμε z=x+iy

, άρα

ή (με πράξεις) $y=\pm\sqrt{3}x$ .

Για την επαλήθευση : με y=0

στην αρχική καταλήγουμε ισοδύναμα στην (x+1)(x^2+x+1)=0

άρα

και

με $y=\pm\sqrt{3}x$ στην (2x-1)(2x+1)^2=0

,

άρα $x=\pm1/2$ ,

άρα $z=\pm1/2\pm i\sqrt{3}/2$ .

#3

Άλλη μια λύση : Από τη σχέση $\frac{z^6-1}{z-1}=1+z+z^2+z^3+z^4+z^5$ έχουμε ότι την εξίσωση 1+z+z^2+z^3+z^4+z^5=0

ικανοποιούν οι έκτες ρίζες της μονάδας εκτός του

και μόνο αυτές. Όμως για τους μιγαδικούς αυτούς ισχύει $\bar{z}=\frac{1}{z}$ άρα, διαιρώντας με z^3

, η προηγούμενη εξίσωση είναι ισοδύναμεί με την προς επίλυση. Συμπέρασμα : οι λύσεις μας είναι οι έκτες ρίζες του

εκτός του

.

Τώρα που το ξανασκέφτομαι το πάνω επιχείρημα δείχνει ότι έχουμε σίγουρα ρίζες τις έκτες ρίζες του 1 εκτός του 1. Πρέπει να δικαιολογήσουμε ότι δεν υπάχουν άλλες. Το αφήνω προς το παρόν.

Εξίσωση στο C

Εξίσωση στο C

Re: Εξίσωση στο C

Re: Εξίσωση στο C

Μέλη σε σύνδεση