Ακραίες τιμές αθροίσματος τετραγώνων

mathxl · #1

Έχω μια λύση. Θα με ενδιέφερε πολύ μια καθαρά γεωμετρική λύση (αν υπάρχει τέτοια) ή οποιαδήποτε άλλη

.

Εάν

είναι ένας μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί την $\mid z+1-i\mid =1$ , τότε να βρείτε τον

για τον οποίο η παράσταση $\mid z-1-2i\mid^2+\mid z-5+4i\mid^2$ παίρνει την ελάχιστη τιμή της. Αν θέλετε βρείτε και αυτόν που μεγιστοποιείται.

#2

mathxl έγραψε:Εάν είναι ένας μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί την $\mid z+1-i\mid =1$ , τότε να βρείτε τον για τον οποίο η παράσταση $\mid z-1-2i\mid^2+\mid z-5+4i\mid^2$ παίρνει την ελάχιστη τιμή της. Αν θέλετε βρείτε και αυτόν που μεγιστοποιείται.

Βασίλη καλησπέρα

έχουμε $B(1,2),\Gamma(5,-4),E(3,-1)$ το μέσο του $B\Gamma$

$\mid z-1-2i\mid^2+\mid z-5+4i\mid^2=\Delta B^2+\Delta\Gamma^2=2\Delta E^2+\frac{B\Gamma ^2}{2}$ ,από 1ο θεώρημα διαμέσων

το $B\Gamma$ έχει σταθερό μήκος,άρα η παράσταση παίρνει την ελάχιστη τιμή της όταν το $\Delta \equiv Z$
και τη μέγιστη όταν $\Delta\equiv H$ που είναι εύκολο να προσδιοριστούν,από την

και τον κύκλο.

parmenides51 · #3

Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών $\displaystyle{\Delta (z)}$ είναι κύκλος κέντρου $\displaystyle{A(-1,1)}$ κι ακτίνας $\displaystyle{\rho=1}$ .

Έστω $\displaystyle{B(1,2)}$ , $\displaystyle{\Gamma (5,-4)}$ και $\displaystyle{E}$ το μέσο του $\displaystyle{B\Gamma }$ , οπότε $\displaystyle{E(3,-1)}$ .

Από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle \Delta B \Gamma }$ έχουμε :
$\displaystyle{\mid z-1-2i\mid^2+\mid z-5+4i\mid^2=\Delta B^2+\Delta \Gamma ^2=2\Delta E^2+\frac{B\Gamma^2 }{2}=2\Delta E ^2+26}$

Το παραπάνω άθροισμα τετραγώνων γίνεται μέγιστο όταν η απόσταση $\displaystyle{\Delta E}$ γίνει μέγιστη, όταν δηλαδή το μέσο $\displaystyle{E}$ του $\displaystyle{B\Gamma }$ απέχει την μέγιστη απόσταση από τα σημεία $\displaystyle{\Delta }$ του παραπάνω κύκλο $\displaystyle{(A,\rho)}$ .
Η μέγιστη απόσταση εξωτερικού σημείου από κύκλο ισούται με το άθροισμα της απόστασης του κέντρου του κύκλου από το εξωτερικό σημείο με την ακτίνα του κύκλου.
Δηλαδή $\displaystyle{(\Delta E )max=(EH)=(EA)+(AH)=(EA)+\rho=2\sqrt{5}+1}$ και το σημείο για το οποίο επιτυγχάνεται η μέγιστη αυτή τιμή είναι το σημείο τομής $\displaystyle{H}$ της διακεντρικής ευθείας $\displaystyle{EA}$ και του κύκλου $\displaystyle{(A,\rho)}$ , που απέχει περισσότερο από το $\displaystyle{E}$ ( μεταξύ των σημείων $\displaystyle{H}$ και $\displaystyle{Z}$ ).

Ομοίως η ελάχιστη απόσταση είναι $\displaystyle{(\Delta E )min=(EZ)=(EA)-(AZ)=(EA)-\rho=2\sqrt{5}-1}$ και επιτυγχάνεται στο σημείο $\displaystyle{Z}$ .

Υ.Γ. Με πρόλαβε η Φωτεινή

Την αφήνω ακολουθώντας την συμβουλή εδώ

edit 1: Μετονομασία των σημείων ώστε να ταιριάζουν με το σχήμα της Φωτεινής
edit 2: Διόρθωση συντεταγμένων του σημείου $\displaystyle{A}$

mathxl · #4

Σας ευχαριστώ για τις λύσεις σας. Η δική μου λύση σε αρχείο ggb. Άλλη στιγμή ή μέρα το υπόλοιπο κομμάτι της

mathxl · #5

Θέτουμε $\displaystyle{z + 1 - i = w \Leftrightarrow z = w - 1 + i}$ με $\displaystyle{\mid z + 1 - i\mid = 1 \Leftrightarrow \left| w \right| = 1}$
και αναζητούμε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\mid z - 1 - 2i{\mid ^2} + \mid z - 5 + 4i{\mid ^2} = \mid w - 1 + i - 1 - 2i{\mid ^2} + \mid w - 1 + i - 5 + 4i{\mid ^2} = }$

$\displaystyle{ = \mid w - 2 - i{\mid ^2} + \mid w - 6 + 5i{\mid ^2}}$

Είναι $\displaystyle{w = x + yi}$ με $\displaystyle{{x^2} + {y^2} = 1}$
$\displaystyle{A = \mid w - 2 - i{\mid ^2} + \mid w - 6 + 5i{\mid ^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = }$

$\displaystyle{ = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 16x + 8y + 66 = 16x + 8y + 68 = 8\left( {2x + y} \right) + 68 \ge 68 - 8\sqrt 5 }$

Διότι θεωρώντας τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow a = \left( {2,1} \right),\overrightarrow b = \left( {x,y} \right)}$ και λαμβάνοντας υπόψη γνωστή εφαρμογή στην β λυκείου κατεύθυνση, θα ισχύει $\displaystyle{\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow - \sqrt 5 \le 2x + y \le \sqrt 5 }$ με την ισότητα να επιτυγχάνεται όταν τα διανύσματα $\displaystyle{{\overrightarrow a ,\overrightarrow b }}$
είναι συγραμμικά. Αυτό συμβαίνει όταν και μόνο όταν $\displaystyle{\det \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2y}$
Επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεων

$\displaystyle{\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2y} \\ {{x^2} + {y^2} = 1} \\ \end{array}}$

προκύπτει $\displaystyle{\left( {x,y} \right) = \left( {\frac{{2\sqrt 5 }}{5},\frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right) \vee \left( { - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}, - \frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right)}$
Δηλαδή $\displaystyle{w = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} + \frac{{\sqrt 5 }}{5}i \Leftrightarrow z = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} - 1 + \left( {1 + \frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right)i}$ για την ελάχιστη τιμή (δες σχήμα) και $\displaystyle{w = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5} - \frac{{\sqrt 5 }}{5}i \Leftrightarrow z = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5} - 1 + \left( {1 - \frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right)i}$
για την μέγιστη που εύκολα βλέπουμε ότι είναι $\displaystyle{68 + 8\sqrt 5 }$

Παρατηρώ ότι το σχήμα που έβαλα προέκυψε από αριθμητικά λάθη χωρίς όμως να χάνει τον "κορμό" της σκέψης. Θα το ανεβάσω διορθωμένο. Προτιμώ την γεωμετρική λύση.

k-ser · #6

mathxl έγραψε:Έχω μια λύση. Θα με ενδιέφερε πολύ μια καθαρά γεωμετρική λύση (αν υπάρχει τέτοια) ή οποιαδήποτε άλλη .

Εάν είναι ένας μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί την $\mid z+1-i\mid =1$ , τότε να βρείτε τον για τον οποίο η παράσταση $\mid z-1-2i\mid^2+\mid z-5+4i\mid^2$ παίρνει την ελάχιστη τιμή της. Αν θέλετε βρείτε και αυτόν που μεγιστοποιείται.

Θα πρότεινα το εξής:

Με τη βοήθεια της "γεωμετρικής" ταυτότητας: $\displaystyle |z_1|^2+|z_2|^2=\frac{|z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2}{2}$

η παράσταση είναι ίση, αν δεν έχω κάποιο λάθος στις πράξεις, με την

$\displaystyle 26+2|z-3+i|^2$ .
Έτσι, το ζητούμενο των ακραίων τιμών της ανάγεται στην εύρεση των ακραίων τιμών της

$\displaystyle |z-3+i|$

το οποίο είναι, προφανώς, ευκολότερο...

Καλό βράδυ.

mathxl · #7

Καλημέρα Κώστα, πολύ ωραία και αυτή η ιδέα που γεωμετρικά είναι ισοδύναμη με το 1ο διαμέσων αλλά περνά και στον μαθητή που δεν έχει κάποια βάση στην Γεωμετρία (καθόλου σπάνιο).

Ακραίες τιμές αθροίσματος τετραγώνων

Ακραίες τιμές αθροίσματος τετραγώνων

Re: Ακραίες τιμές αθροίσματος τετραγώνων

Re: Ακραίες τιμές αθροίσματος τετραγώνων

Re: Ακραίες τιμές αθροίσματος τετραγώνων

Re: Ακραίες τιμές αθροίσματος τετραγώνων

Re: Ακραίες τιμές αθροίσματος τετραγώνων

Re: Ακραίες τιμές αθροίσματος τετραγώνων

Μέλη σε σύνδεση