ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

perpant · #1

Μετά τη συλλογή θεμάτων για τη γενική παιδεία (επιτυχημένη απόπειρα εκ του αποτελέσματος θα έλεγα), ας προσπαθήσουμε κάτι ανάλογο και για τα Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Να φτιάξουμε ένα αρχείο ασκήσεων.
Ας ξεκινήσουμε με το κεφάλαιο των μιγαδικών και αν υπάρχει διάθεση συνεχίζουμε και στα άλλα κεφάλαια.
Ας προσπαθήσουμε τα θέματα να έχουν ένα ικανό αριθμό υποερωτημάτων .
Επίσης θα πρότεινα το κάθε θέμα που τίθεται να μένει την πρώτη ημέρα για διαπραγμάτευση από μαθητές, και την επόμενη αν δεν έχει υπάρξει απάντηση να δίνεται από κάποιον από μας.
Προτείνω να μην υπάρχουν ταυτόχρονα πάνω από 2-3 άλυτες ασκήσεις, ώστε να μην μένει καμία ξεχασμένη.
Επιπλέον, καλό νομίζω θα ήταν τα θέματα που θα δίνονται να είναι κοντά στο πνεύμα των Πανελληνίων και όχι εξεζητημένα.
Τέλος, θεωρώ πως θα ήταν καλό να δίνουμε πλήρως αιτιολογημένες απαντήσεις, όπως πρέπει να απαντούν οι μαθητές στις εξετάσεις. Νομίζω ότι αυτό θα ήταν ιδιαίτερα χρήσιμο για τους μαθητές.
..........................................................
Παντούλας Περικλής

Να ενημερώσω τους συναδέλφους ότι την ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ σε word , την έχει αναλάβει το μέλος parmenides51 βέβαια όποιος θέλει και μπορεί ας μας βοηθήσει στα σχήματα, που αν είναι δυνατόν να γίνουν το Graph (δωρεάν έκδοση ) .
Επίσης καλό είναι τα θέματα να είναι σε πλήθος 30+10 συνδυαστικών με άλλα κεφάλαια.

.............................................................
Τηλέγραφος Κώστας

perpant · #2

ΑΣΚΗΣΗ 1η
Έστω οι μιγαδικοί $\displaystyle{z}$ για τους οποίους ισχύει: $\displaystyle{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {z + \frac{4}{z}} \right) = 2{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right),\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}$

i) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z

ii) Αν $\displaystyle{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) \ne 0}$ , τότε:

a) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός $\displaystyle{w = z + \frac{4}{z}}$ είναι πραγματικός και ισχύει $\displaystyle{ - 4 \le w \le 4}$

β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών $\displaystyle{c = z + 3 + 4i}$

γ) Για το προηγούμενο ερώτημα, να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο του $\displaystyle{\left| c \right|}$

δ) Αν οι μιγαδικοί $\displaystyle{z_1 ,\,\,z_2 \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,z_3 }$ ικανοποιούν την σχέση (1) και δεν είναι φανταστικοί, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\left| {z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 } \right| = 2\left| {z_1 + z_2 + z_3 } \right|}$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #3

Προσθέτω και εγω μια άσκηση στην προσπάθεια του Περικλή,ώστε να υπάρχει και άλλη μια

ΑΣΚΗΣΗ 2

Αν ισχύει η σχέση $\displaystyle{z\overline z + 3(z - \overline z )i = 4(z + \overline z ),z \in C}$ (1)

α. Να αποδείξετε οτι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών $\displaystyle{z}$ είναι κύκλος που διέρχεται απο την αρχή των αξόνων

β. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του $\displaystyle{\left| z \right|}$ καθώς και τον μιγαδικό $\displaystyle{z_1 }$ με το μέγιστο μέτρο.

γ. Να προσδιορίσετε τα $\displaystyle{\beta ,\gamma \in R}$ ,ώστε ο μιγαδικός $\displaystyle{z_1 }$ είναι λύση της εξίσωση $\displaystyle{\frac{1}{4}z^2 + \beta z + \gamma = 0}$

δ. Αν για τον μιγαδικό $\displaystyle{z_0 }$ που ικάνοποιεί την σχέση (1), ισχύει $\displaystyle{\left( {\frac{{\displaystyle\overline {z_0 } - 4 + 3i}}{{\displaystyle\overline {w - 5i} }}} \right)^{2012} = 5^{2012} ,w \ne 5i}$ , τότε να αποδείξετε οτι οι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{w}$ ανήκουν σε κύκλο με κέντρο $\displaystyle{\Lambda (0,5)}$ και ακτίνας $\displaystyle{\rho _2 = 1}$

minast1994 · #4

perpant έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1η
Έστω οι μιγαδικοί $\displaystyle{z}$ για τους οποίους ισχύει: $\displaystyle{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {z + \frac{4}{z}} \right) = 2{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right),\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}$

i) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z

ii) Αν $\displaystyle{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) \ne 0}$ , τότε:

a) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός $\displaystyle{w = z + \frac{4}{z}}$ είναι πραγματικός και ισχύει $\displaystyle{ - 4 \le w \le 4}$

β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών $\displaystyle{c = z + 3 + 4i}$

γ) Για το προηγούμενο ερώτημα, να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο του $\displaystyle{\left| c \right|}$

δ) Αν οι μιγαδικοί $\displaystyle{z_1 ,\,\,z_2 \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,z_3 }$ ικανοποιούν την σχέση (1) και δεν είναι φανταστικοί, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\left| {z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 } \right| = 2\left| {z_1 + z_2 + z_3 } \right|}$

ΛΥΣΗ

καλησπέρα.... (ΑΣΚΗΣΗ 1)
α) $Re(z+\frac{4}{z})=2Re(z)\Leftrightarrow Re(z)+Re(\frac{4}{z})=Re(z)\Leftrightarrow Re(z)=Re(\frac{4}{z})$
έστω z=a+bi

$a,b\in\Re$ , $\left | a \right |+\left | b \right |\neq 0$ τότε ισοδύναμα έχουμε
$\frac{4}{z}=\frac{4}{a+bi}=4(\frac{a-bi}{a^{2}+b^{2}})\Rightarrow Re(\frac{4}{z})=\frac{4a}{a^2+b^2}$
οπότε $\frac{4a}{a^{2}+b^{2}}=a$ ,και για $a\neq 0$
a^2+b^2=4

δηλαδή $M(z) \in$ στον κύκλο ακτίνας r=2

και κέντρου O(0,0)

Για

αναγκαία $b\neq 0$ και $M(z)\in yy'$ εκτός του Ο

β) $\left | z \right |=2\Leftrightarrow z\bar{z}=4\Leftrightarrow \bar{z}=\frac{4}{z}$
άρα $w=z+\bar{z}=2Re(z)\in \Re$
εφόσον $M(z) \in$ στον κύκλο ακτίνας r=2

και κέντρου O(0,0)

θα ισχυεί $-2\leq Re(z)\leq 2\Leftrightarrow -4\leq w\leq 4$

γ) $\left | z \right |=2\Leftrightarrow \left | c-3-4i \right |=2$ άρα $M(c)\in$ στον κύκλο κέντρου K(3,4)

και ακτίνας r=2

δ) $\left | c \right |_m_a_x_=d(K,O)+r=5+2=7$
$\left | c \right |_m_i_n_=d(K,O)-r=5-2=3$

ε) $\left | z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1 \right |=\left | \frac{16}{\bar{z_1}\bar{z_2}}+\frac{16}{\bar{z_2}\bar{z_3}}+\frac{16}{\bar{z_3}\bar{z_1}} \right |=16\frac{\left | \bar{z_1}+\bar{z_2}+\bar{z_3} \right |}{\left | z_1z_2z_3 \right |}=\frac{16}{8}\left | z_1+z_2+z_3 \right |=2\left | z_1+z_2+z_3 \right |$

minast1994 · #5

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 2

Αν ισχύει η σχέση $\displaystyle{z\overline z + 3(z - \overline z )i = 4(z + \overline z ),z \in C}$ (1)

α. Να αποδείξετε οτι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών $\displaystyle{z}$ είναι κύκλος που διέρχεται απο την αρχή των αξόνων

β. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του $\displaystyle{\left| z \right|}$ καθώς και τον μιγαδικό $\displaystyle{z_1 }$ με το μέγιστο μέτρο.

γ. Να προσδιορίσετε τα $\displaystyle{\beta ,\gamma \in R}$ ,ώστε ο μιγαδικός $\displaystyle{z_1 }$ είναι λύση της εξίσωση $\displaystyle{\frac{1}{4}z^2 + \beta z + \gamma = 0}$

δ. Αν για τον μιγαδικό $\displaystyle{z_0 }$ που ικάνοποιεί την σχέση (1), ισχύει $\displaystyle{\left( {\frac{{\displaystyle\overline {z_0 } - 4 + 3i}}{{\displaystyle\overline {w - 5i} }}} \right)^{2012} = 5^{2012} ,w \ne 5i}$ , τότε να αποδείξετε οτι οι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{w}$ ανήκουν σε κύκλο με κέντρο $\displaystyle{\Lambda (0,5)}$ και ακτίνας $\displaystyle{\rho _2 = 1}$

ΛΥΣΗ

α)Έστω z=a+bi

$a,b \in r\Re$
η δοσμένη ισοδύναμα γράφεται .
$a^2+b^2+6Im(z)i^2=8Re(z)\Leftrightarrow a^2+b^2-6b-8a=0\Leftrightarrow (a-4)^{2}+(b-3)^{2}=25$ (1),κύκλος οποίος διέρχεται απο την αρχή των αξόνων αφόυ η εξισωσή του ικανοποιείται για a=b=0

β) $\left | z \right |_M_A_X_=d(K,O)+r=5+5=10$
αν τώρα z_1=c+di

$c,d \in\Re$ θα ισχυεί c^2+d^2=100

(2) και φυσικά $(c-4)^{2}+(d-3)^{2}=25$ (3) αφού A(c,d)

σημείου του κύκλου
απο τήν επίλυση του συστήματος (3),(2) προκύπτει ότι c=8,d=6

οι οποίες είναι και μοναδικές λύσεις ,άρα z_1=8+6i

γ)εφόσον

λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης με πραγματικούς συντελεστές τότε και $\bar{z_1}$ λύση
και απο τους τύπους vieta έχουμε $S=z_1+\bar{z_1}=2Re(z)=16\Rightarrow -\frac{b}{\frac{1}{4}}=16\Rightarrow b=-4$
$P=z_1\bar{z_1}=\left | z_1 \right |^{2}=100\Rightarrow \frac{c}{\frac{1}{4}}=100\Rightarrow c=25$

δ)βάζοντας μέτρα στην δοσμένη και αφού και τα δύο μέλη θετικά προκύπτει $\left | \bar{z_0}-4+3i \right |=5\left | w-5i \right |$
απο (1) προκύπτει ότι για κάθε μιγαδικό z που επαληθευει την (1) ισχύει $\left | z-4-3i \right |=5$ αρα θα ισχύει και $\left | \bar{z}-4+3i \right |=5$ και τελικά έχουμε
$\left | w-5i \right |=1$ και το ζητούμενο είναι άμεση συνέπεια.

#6

Άσκηση 3η

Έστω $z\epsilon C \epsilon$ , με $\left|z \right|=1$ και $\left|z+1 \right|=a$ , όπου
$a\epsilon R$ . Να αποδείξετε ότι :

(1) $0\leq a\leq 2$

(2) $Re(z)=\frac{a^{2}-2}{2}$

(3) $\left|z^{2}-z+1 \right|=\left|a^{2}-3 \right|$

(4) $\sqrt{3}-a\leq \left|z^{2}-z+1 \right|\leq \frac{13}{4}-a$

pito · #7

ΑΣΚΗΣΗ 4η

Έστω οι μιγαδικοί z,w

με τις ιδιότητες $|z|^{2}}+z\bar{w}=1, |w|^{2}+\bar{z}w=3$ .

α) Να δείξετε ότι |z+w|=2

.

β) Να δείξετε ότι οι εικόνες των

και

ανήκουν σε κύκλους με κέντρο την αρχή των αξόνων , των οποίων να βρείτε και την ακτίνα.

γ) Να βρείτε την απόσταση των εικόνων των μιγαδικών

και

.

δ) Να δείξετε ότι οι εικόνες των z,w

και η αρχή των αξόνων είναι συνευθειακά σημεία.

#8

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 4η

Έστω οι μιγαδικοί με τις ιδιότητες $|z|^{2}}+z\bar{w}=1, |w|^{2}+\bar{z}w=3$ .

α) Να δείξετε ότι .

β) Να δείξετε ότι οι εικόνες των και ανήκουν σε κύκλους με κέντρο την αρχή των αξόνων , των οποίων να βρείτε και την ακτίνα.

γ) Να βρείτε την απόσταση των εικόνων των μιγαδικών και .

δ) Να δείξετε ότι οι εικόνες των και η αρχή των αξόνων είναι συνευθειακά σημεία.

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΜΥΡΤΩ

Για το (α) ερώτημα:

$\left|z+w \right|^{2}=(z+w)(\bar{z}+\bar{w})=\left|z \right|^{2}+z\bar{w}+w\bar{z}+\left|w \right|^{2}=1+3=4$

Άρα $\left|z+w \right|=2$

(β) $z\bar{z}+z\bar{w}=1\Rightarrow \left|z \right|\left|z+w \right|=1\Rightarrow \left|z \right|=\frac{1}{2}$

Άρα η εικόνα του

βρίσκετι πάνω στον κύκλο $C_{1}$ με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα $r=\frac{1}{2}$

Όμοια βρίσκουμε ότι η εικόνα του

βρίσκεται πάνω στον κύκλο $C_{2}$ με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα $R=\frac{3}{2}$

(γ) Έχουμε:

$\left|z-w \right|^{2}=(z-w)(\bar{z}-\bar{w})=\left|z \right|^{2}-z\bar{w}-w\bar{z}+\left|w \right|^{2}=\left|z \right|^{2}-(1-\left|z \right|^{2})-(3-\left|w \right|^{2})+\left|w \right|^{2}=$
$2\left|z \right|^{2}+2\left|w \right|^{2}-4=2.\frac{1}{4}+2.\frac{9}{4}-4=1$

(δ) Έστω A,B

οι εικόνες των z,w

αντιστοίχως που όπως είδαμε ανήκουν στους κύκλους $C_{1}$ και $C_{2}$ και είναι AB=1

. Αν τα σημεία A,B,O

υποθέσουμε ότι δεν είναι συνευθειακά, τότε δημηουργείται τρίγωνο ABO

και από την τριγωνική ανισότητα θα έχουμε ότι:

$OB<OA+AB\Rightarrow \frac{3}{2}<\frac{1}{2}+1\Rightarrow \frac{3}{2}<\frac{3}{2}$ που όμως είναι άτοπο.

Μάκης Χατζόπουλος · #9

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 4η

Έστω οι μιγαδικοί με τις ιδιότητες $|z|^{2}}+z\bar{w}=1, |w|^{2}+\bar{z}w=3$ .

α) Να δείξετε ότι .

Δεν ξέρω αν την προλάβω όλη οπότε την δίνω σε στάδια την λύση μου.

α) Α΄τρόπος (κλασικός)
Παίρνουμε το πρώτο μέλος της ζητούμενης σχέσης, υψωμένο στο τετράγωνο και έχουμε διαδοχικά,

${\left| {z + w} \right|^2} = {\left| z \right|^2} + z\overline w + \overline z w + {\left| w \right|^2} = 4$ (με πρόσθεση κατά μέλη των δεδομένων σχέσεων)

οπότε, $\left| {z + w} \right| = 2$

Β΄ τρόπος (Ευθεία απόδειξη)
Από τα δεδομένα παίρνουμε, $z\overline w \in R$ και $\overline z w \in R$ άρα $z\overline w = \overline z w$ , οπότε οι ζητούμενες σχέσεις γίνονται:

${\left| z \right|^2} + z\overline w = 1 \Rightarrow z\overline z + \overline z w = 1 \Rightarrow \overline z \left( {z + w} \right) = 1$ και

${\left| w \right|^2} + \overline z w = 3 \Rightarrow w\overline w + z\overline w = 3 \Rightarrow \overline w \left( {z + w} \right) = 3$

με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε:

$\overline z \left( {z + w} \right) + \overline w \left( {z + w} \right) = 4 \Rightarrow \left( {z + w} \right)\overline {\left( {z + w} \right)} = 4 \Rightarrow {\left| {z + w} \right|^2} = 4 \Rightarrow \left| {z + w} \right| = 2$

β) Από τον β΄ τρόπο έχουμε αποδείξει ότι: $\overline z \left( {z + w} \right) = 1$ άρα έχουμε διαδοχικά,

$\overline z \left( {z + w} \right) = 1 \Rightarrow \left| {\overline z \left( {z + w} \right)} \right| = \left| 1 \right| \Rightarrow \left| z \right|\left| {z + w} \right| = 1 \Rightarrow 2\left| z \right| = 1 \Rightarrow \left| z \right| = \frac{1}{2}$

Όμοια βρίσκουμε, $\left| w \right| = \frac{3}{2}$ , άρα οι εικόνες των μιγαδικών z, w

ανήκουν σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα $\frac{1}{2}$ και $\frac{3}{2}$ αντίστοιχα (το πρόσθεσα μετά στην επεξεργασία)

Βλέπω ότι με πρόλαβε ο Δημήτρης οπότε την αφήνω για τον β ΄ τρόπο προσέγγισης!

dennys · #10

Αρχικά $|z+w|^2=(z+w)(\overline{z+w})=...=z\overline{z}+z\overline{w}+w\overline{w}+w\overline{z}=1+3=4$ αρα |z+w|=2

.
Tώρα απο τις δοσμένες $z(\overline{z+w})=1,$ μετράρω και $|z|=\frac{1}{2}$ ομοια $|w|=\frac{3}{2}$
Με τριγωνική εχουμε $1\le|z-w|\le2$
Τα σημεία $O(0,0),M(a,b), N(\frac{a}{a^2+b^2}-a,\frac{b}{a^2+b^2}-b),$ δίνουν ορίζουσα 0 αρα ειναι συν/κά

dennys · #11

Για την 3)
a)αρχικά $a\ge0, |z+1|=a\ge0$ και με τριγωνική $0\le a=|z+1|\le|z|+1=1+1=2.$ Τώρα $|z+1|^2=a^2,...z\overline{z}+2Re(z)+1=a^2,,Re(z)=\frac{a^2-2}{2}$
σε λίγο και τ'αλλο
dennys

Μάκης Χατζόπουλος · #12

Και μια δεύτερη απόδειξη στο θέμα 4γ (της pito / pito παρεμπιπτόντως ωραία άσκηση, σχολική!)

Εύκολα βρίσκουμε ότι, ${\left| z \right|^2} + z\overline w = 1 \Rightarrow \frac{1}{4} + z\overline w = 1 \Rightarrow z\overline w = \frac{3}{4}$

άρα, $\left| {z - w} \right| = \left| w \right| \cdot \left| {\frac{z}{w} - 1} \right| = \left| w \right| \cdot \left| {\frac{{z\overline w }}{{w\overline w }} - 1} \right| = \left| w \right| \cdot \left| {\frac{{\frac{3}{4}}}{{\frac{1}{4}}} - 1} \right| = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

Μια τρίτη απόδειξη που αποδεικνύουμε μια χρήσιμη σχέση για όλα τα ερωτήματα, ${w = 3 \cdot z}$ γιατί (συγχωρέστε με αλλά δεν έχω χρόνο να ασχολούμαι με πολλές ασκήσεις οπότε με όποια καταπιαστώ την ξετινάζω)

Έχουμε αποδείξει ότι: $z\overline w = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ άρα $z\overline w = \frac{3}{4} \Rightarrow z\overline w \cdot w = \frac{3}{4} \cdot w \Rightarrow z{\left| w \right|^2} = \frac{3}{4} \cdot w \Rightarrow z \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4} \cdot w \Rightarrow w = 3 \cdot z$

οπότε $\left| {z - w} \right| = \left| {z - 3z} \right| = 2\left| z \right| = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Για την δεύτερη απόδειξη στο (δ) υποερώτημα δεν διαφέρει και πολύ από αυτή του dennys, αλλά του Δημήτρη νομίζω ότι είναι απλή και η γεωμετρική ερμηνεία της άσκησης της προσθέτει όλη την γοητεία!

dennys · #13

για το γ) εχουμε $z\overline{z}=1$ και $(z+1)(\overline{z+1})=a^2, z+1=\displaystyle\frac{a^2}{\overline{z}+1}=\frac{a^2}{\frac{1}{z}+1}=\frac{a^2z}{1+z}$ και
(z+1)^2=a^2z,z^2+2z+1=a^2z,z^2-z+1=a^2z-3z

και αν μετράρω |z^2-z+1|=|a^2-3||z|=|a^2-3|

pito · #14

ΑΣΚΗΣΗ 3η:

Ένας δεύτερος ( δύσκολος) τρόπος για το (γ):

$|z^{2}-z+1|=|a^{2}-3|\Leftrightarrow |z^{2}-z+1||z+1|=|a^{2}-3||z+1|\Leftrightarrow |z^{3}+1|=a|a^{2}-3|\Leftrightarrow |z^{3}+1|^{2}=a^{2}(a^{2}-3)^{2}\Leftrightarrow (z^{3}+1)(\bar{z}^{3}+1)=a^{6}-6a^{4}+9a^{2}\Leftrightarrow |z|^{6}+z^{3}+(\bar{z})^{3}+1=a^{6}-6a^{4}+9a^{2}\Leftrightarrow 1+(z+\bar{z})^{3}-3z\bar{z}(z+\bar{z})+1=a^{6}-6a^{4}+9a^{2}\Leftrightarrow 1+(a^{2}-2)^{3}-3(a^{2}-2)+1=a^{6}-6a^{4}+9a^{2}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow 0=0$ , που ισχύει άρα και το αρχικό.

( Χρησιμοποιηθήκε ότι $z+\bar{z}=2Re(z)=a^{2}-2$ , από το (β) ερώτημα)

Για το (δ):

Αρκεί ( λόγω του (γ)) να δείξουμε ότι $\sqrt{3}-a\leq |a^{2}-3|\leq \frac{13}{4}-a, (a^{2}\in R)$

Δ.ό $\sqrt{3}-a\leq |a^{2}-3|$ (1)

Αν $a\in (\sqrt{3},2]$ , τότε η (1) ισχύει. Για $a=\sqrt{3}$ η (1) ισχύει σαν ισότητα.

Αν $a\in [0,\sqrt{3})$ η (1) ισοδύναμα γίνεται $(\sqrt{3}-a)^{2}\leq (a-\sqrt{3})^{2}(a+\sqrt{3})^{2}\Leftrightarrow 1\leq (a+\sqrt{3})^{2},$ . (2)

Όμως $a\geq 0\Rightarrow a+\sqrt{3}\geq \sqrt{3}\Rightarrow a+\sqrt{3}\geq 1\Rightarrow (a+\sqrt{3})^{2}\geq 1$ και ισχύει η (2).

Δ.ό $|a^{2}-3|\leq \frac{13}{4}-a$ (3) . Είναι $a\leq 2\Rightarrow a\leq \frac{13}{4}$ και η (3) έχει νόημα.

Αρκεί $a-\frac{13}{4}\leq a^{2}-3\leq \frac{13}{4}-a\Leftrightarrow 4a\leq 4a^{2}+1\leq 26-4a\Leftrightarrow 0\leq (2a-1)^{2}\leq 26-8a$ και προφανώς ισχύει $(2a-1)^{2}\geq 0$ και $(2a-1)^{2}\leq 26-8a\Leftrightarrow (2a+1)^{2}\leq 26$ .

Η τελευταία ισχύει γιατί $0\leq a\leq 2\Rightarrow 1\leq 2a+1\leq 5\Rightarrow 1\leq (2a+1)^{2}\leq 25\Rightarrow (2a+1)^{2}\leq 26$

( Στο θέμα (δ) δούλεψα με 2 διαφορετικούς τρόπους για ποικιλία).

dennys · #15

ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνεται η εξίσωση 2ου βαθμού $z^2-2\,(\cos{t})\,z+(5-4\sin{t})=0\,, \ t\in[0,\pi]$
1)Να βρεθούν οι ρίζες z_1,z_2

και τον γ.τ. αυτών
2)βρείτε το $\max|z_1-z_2|$
3)βρείτε το $\max|z_1+z_2|$

dennys

dennys · #16

ασκηση 6)
δίνεται $z=t+(t-1)i,t\in[0,1]$
1)ο γ.τ. του z
2) το $\min|Z|$
3)αν $w=(k^2+2)+(k^2-1)i,k\in{\mathbb{R}}$ ποιός ο γ.τ. του w
4)βρείτε το $\min|w|$
5)το $\min|z-w|$
6)αν το $k\in[0,4]$
βρείτε τα $\max|w|, \max|z-w|$

pana1333 · #17

dennys έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνεται η εξίσωση 2ου βαθμού $z^2-2\,(\cos{t})\,z+(5-4\sin{t})=0\,, \ t\in[0,\pi]$
1)Να βρεθούν οι ρίζες και τον γ.τ. αυτών
2)βρείτε το $\max|z_1-z_2|$
3)βρείτε το $\max|z_1+z_2|$

dennys

Καλημέρα......

1) Είναι $\Delta =4cos^{2}t-20+16sint=4\left(1-sin^{2}t \right)-20+16sint=$ \displaystyle{4-4sin^{2}t-20+16sint} $=-\left(2sint-4 \right)^{2}<0$ αφού $sint\neq 2$ . Άρα η εξίσωση έχει δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες τις $z_{1}=cost-\left(sint-2 \right)i$ και $z_{2}=cost+\left(sint-2 \right)i$ .

Για να βρούμε το γ.τ των εκόνων των $z_{1}$ θέτουμε $cost+\left(2-sint \right)i=x+yi$ όπου $x\varepsilon R,$ και 1<y<2

αφού $t\varepsilon [0,\pi ]$ . Τότε $\begin{Bmatrix} x=cost& \\ y=2-sint & \end{Bmatrix}\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} x=cost& \\ 2-y=sint, & \end{Bmatrix}$ .

Επειδή όμως $sin^{2}t+cos^{2}t=1$ έχουμε $x^{2}+\left(y-2 \right)^{2}=1$ . Επομένως ο γ.τ των εικόνων των μιγαδικών $z_{1}$ είναι το ημικύκλιο κέντρου Κ(0,2) και ακτίνας ρ=1 με 1<y<2

. Ομοίως προκύπτει ότι ο γ.τ των των εικόνων των μιγαδικών $z_{2}$ είναι ημικύκλιο κέντρου Κ(0,-2) και ακτίνας R=1 με $x\varepsilon R, -2<y<-1$ .

2) Είναι z_1-z_2=-(2sint-4)i

, άρα $|z_1-z_2|=\left|2sint-4 \right|$ . Για t=0

ή $t=\pi$ έχουμε $\max|z_1-z_2|=(A\Gamma)=(B \Delta )=4$

3) Είναι z_1+z_2=2cost

, άρα

. Για

έχουμε $\max|z_1+z_2|=\max|z_1-(-z_2)|=(AB)=2$ αφού η εικόνα των -z_2

είναι ίδια με την εικόνα των z_1

: eikones.png (11.87 KiB) Προβλήθηκε 11606 φορές

#18

dennys έγραψε:για το γ) εχουμε $z\overline{z}=1$ και $(z+1)(\overline{z+1})=a^2, z+1=\displaystyle\frac{a^2}{\overline{z}+1}=\frac{a^2}{\frac{1}{z}+1}=\frac{a^2z}{1+z}$ και
και αν μετράρω

Καλημέρα Dennys και χρόνια πολλά.
Απλά μία επισήμανση στη λύση σου.
Ο μιγαδικός

μπορεί κάλλιστα να λάβει την τιμή

επομένως στη λύση θα ήταν καλύτερα αρχικά να επισημάνουμε
πως η ζητούμενη αληθεύει για z=-1

και στη συνέχεια να δουλέψουμε για $z \ne -1$ .

Y.Γ Δεν θα ήταν πιό όμορφο μιάς και μιλάμε για συλλογή, να γίνεται κάτι πιο νοικοκυρεμένο;Εννοώ πως
αν δείτε πλέον τη δημοσίευση, υπάρχει μεγάλο μπέρδεμα, που εμένα τουλάχιστον με αποθαρρύνει ως λύτη να ασχοληθώ.
Δε λέω πρόταση, απλά επισημαίνω.Καλημέρα σε όλους.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #19

Αν και έχουμε λύσει αρκέτες τέτοιες (πιθανόν και την ίδια), θεωρώ πως πρέπει να υπάρχει σε οποιαδήποτε συλλογή ασκήσεων.

ΑΣΚΗΣΗ 7η

α. Να λύθεί η εξίσωση $\displaystyle{w^2 + w + 1 = 0}$

β. Έστω οι μιγαδικοί $\displaystyle{z_1 ,z_2 }$ με $\displaystyle{z_1 ^2 + z_1 \cdot z_2 + z_2 ^2 = 0}$

i. Να αποδείξετε οτι: $\displaystyle{\left| {z_1 } \right| = \left| {z_2 } \right|}$

ii. Να αποδείξετε οτι: $\displaystyle{\left| {z_1 + z_2 } \right| = \left| {z_1 } \right| = \left| {z_2 } \right|}$

iii. Για $\displaystyle{\nu \in {\rm N}^* }$ και $\displaystyle{z_1 ^\nu + z_2 ^\nu \ne 0}$ , να αποδείξετε οτι ο $\displaystyle{u = \frac{{z_1 ^\nu - z_2 ^\nu }}{{z_1 ^\nu + z_2 ^\nu }}}$ είναι φανταστικός.

Κ.Ρεκούμης- Κ.Λαγός (εκδόσεις Μεταίχμιο)

STOPJOHN · #20

Καλημέρα και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ
Πιστεύω ότι η καλή προσπάθεια που γίνεται με τη συλλογή θεμάτων Μιγαδικών αριθμών ΔΕΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΣΥΝΟΔΕΥΕΤΑΙ ΜΕ ΤΙΣ ΛΥΣΕΙΣ όπως έχουνε επισημάνει και άλλα μέλη του mathematica. Ας περάσει ένα χρονικό διάστημα (μπορεί να οριστεί από τους συντονιστές ) και μετά οι λύσεις

Φιλικά
Γιάννης Σταματογιάννης

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Μέλη σε σύνδεση