ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
ΑΣΚΗΣΗ 7η
α. Έχουμε άρα .
β. i) Είναι (1). Πολλαπλασιάζω τα μέλη της (1) με :
άρα
ii) Aν , τότε από τη δοσμένη έχουμε άρα η ζητούμενη ισχύει
Για , από την αρχική έχουμε:
άρα .
iii) Aποδεικνύω την ισοδυναμία :
Έστω . Tότε
Aρκεί, λοιπον, να αποδείξουμε ότι .
Αφού , έχουμε (2)
Έχουμε
Edit: Eίχα ασχοληθεί με την περίπτωση που ήταν περιττό. Ευχαριστώ το Δημήτρη Κατσίποδα για την επισήμανση.
α. Έχουμε άρα .
β. i) Είναι (1). Πολλαπλασιάζω τα μέλη της (1) με :
άρα
ii) Aν , τότε από τη δοσμένη έχουμε άρα η ζητούμενη ισχύει
Για , από την αρχική έχουμε:
άρα .
iii) Aποδεικνύω την ισοδυναμία :
Έστω . Tότε
Aρκεί, λοιπον, να αποδείξουμε ότι .
Αφού , έχουμε (2)
Έχουμε
Edit: Eίχα ασχοληθεί με την περίπτωση που ήταν περιττό. Ευχαριστώ το Δημήτρη Κατσίποδα για την επισήμανση.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Απόκης σε Σάβ Δεκ 31, 2011 12:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος
- ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
- Δημοσιεύσεις: 681
- Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Δίνονται οι μιγαδικοί με εικόνες αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία , για τους οποίους ισχύει:
κσι
α. Να δείξετε οτι
β. i. Να δείξετε οτι
β.ii. Να δείξετε οτι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
γ. Να υπολογίσετε καθώς και
δ.i. Να δείξετε οτι τα σημεία είναι συνευθειακά.
δ.ii. Να υπολογίσετε τις αποστάσεις και
Χ.Πατήλας (εκδόσεις Κωστόγιαννος)
Δίνονται οι μιγαδικοί με εικόνες αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία , για τους οποίους ισχύει:
κσι
α. Να δείξετε οτι
β. i. Να δείξετε οτι
β.ii. Να δείξετε οτι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
γ. Να υπολογίσετε καθώς και
δ.i. Να δείξετε οτι τα σημεία είναι συνευθειακά.
δ.ii. Να υπολογίσετε τις αποστάσεις και
Χ.Πατήλας (εκδόσεις Κωστόγιαννος)
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
Να μην ξεχαστεί η άσκηση 6 και αν γίνεται να αφήσουμε πρώτα τους μαθητές να προσπαθήσουν τις ασκήσεις.
1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
- ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
- Δημοσιεύσεις: 681
- Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
συμφωνώ απόλυτα. Επίσης ναpito έγραψε:Να μην ξεχαστεί η άσκηση 6 και αν γίνεται να αφήσουμε πρώτα τους μαθητές να προσπαθήσουν τις ασκήσεις.
Για αυτό και πιστεύω πως πρέπει, μετα απο λίγο διάστημα (1-2 ημέρες), να δημοσιεύουμε και τις απαντήσεις, εκτός και αν οι ήδη δημισιευμένες απαντήσεις μας καλύπτουν πλήρως,perpant έγραψε: δίνουμε πλήρως αιτιολογημένες απαντήσεις, όπως πρέπει να απαντούν οι μαθητές στις εξετάσεις. Νομίζω ότι αυτό θα ήταν ιδιαίτερα χρήσιμο για τους μαθητές.
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
Πολύ φοβάμαι ότι τους έχουμε φοβίσει λιγάκι. Γενικά είμαι της άποψης ότι το mathematica "δεν ελκύει" μη άριστους μαθητές!!!! Μεγάλη συζήτηση.....pito έγραψε:Να μην ξεχαστεί η άσκηση 6 και αν γίνεται να αφήσουμε πρώτα τους μαθητές να προσπαθήσουν τις ασκήσεις.
Καλησπέρα Δημήτρη. Τι εννοείς ακριβώς; Προφανώς και κρατάμε τις δημοσιευμένες απαντήσεις και παρεμβαίνει ο καθένας όπου εκτιμά ότι υπάρχει λόγος. Δεν μπορείς να αναιρέσεις την απάντηση κάποιου στέλνοντας μιαν άλλη επειδή δε σε καλύπτει πλήρως. Ως προς τι; Ή μήπως εννοείς κάτι άλλο;ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:Για αυτό και πιστεύω πως πρέπει, μετα απο λίγο διάστημα (1-2 ημέρες), να δημοσιεύουμε και τις απαντήσεις, εκτός και αν οι ήδη δημισιευμένες απαντήσεις μας καλύπτουν πλήρως,perpant έγραψε: δίνουμε πλήρως αιτιολογημένες απαντήσεις, όπως πρέπει να απαντούν οι μαθητές στις εξετάσεις. Νομίζω ότι αυτό θα ήταν ιδιαίτερα χρήσιμο για τους μαθητές.
Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Μαθηματικός
- ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
- Δημοσιεύσεις: 681
- Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
Οπώς στα θέματα των εξέτάσεων, ολοί λένε οτι θα πρέπει να δίνονται ενδεικτικές απαντήσεις απο την ΚΕΓΕ (άσχετα αν αυτό δεν συμβαίνει),ετσι και εδώ οι θεματοδότες να δίνουν ενδεικτικές απαντήσεις.pana1333 έγραψε:
Καλησπέρα Δημήτρη. Τι εννοείς ακριβώς; Προφανώς και κρατάμε τις δημοσιευμένες απαντήσεις και παρεμβαίνει ο καθένας όπου εκτιμά ότι υπάρχει λόγος. Δεν μπορείς να αναιρέσεις την απάντηση κάποιου στέλνοντας μιαν άλλη επειδή δε σε καλύπτει πλήρως. Ως προς τι; Ή μήπως εννοείς κάτι άλλο;
Βέβαια αν οι ήδη δώθέντες απάντήσεις μας καλύπτουν πλήρως, τότε δεν χρειάζεται να γίνει τίποτα.
Αν όμως για κάποιο ερώτημα έχουμε και κάποια άλλη απάντηση απο αυτή που ήδη έχει δωθεί, να προσθέτουμε και αυτήν,να προσθέτουμε τυχόν σχήματα (αν δεν έχουν δωθεί). Γενικά, να είναι η απάντηση μας , όπως ήταν η έκδοση λύσεων των θεμάτων από την αντίστοιχη επιτροπή του mathematica.gr για τις εξετάσεις του 2011.
Έτσι δεν θα αναιρούμε την απάντηση, αλλά θα προσθέτουμε τυχον επιπλέον λύσεις στο θέμα με αποτέλεσμα να είναι πιο κατανοητό απο τους μαθητές.pana1333 έγραψε:Δεν μπορείς να αναιρέσεις την απάντηση κάποιου στέλνοντας μιαν άλλη επειδή δε σε καλύπτει πλήρως.
Τα απόγευμά, θα δημοσιεύσω την απάντηση μου στη 2η άσκηση, για να καταλάβεις ακριβώς τι εννοώ.
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
1) Αν , τότε με και αφού . Άρα, με απαλοιφή του από τις σχέσεις του συστήματος, λαμβάνουμε . Ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του είναι το ευθύγραμμο τμήμα της ευθείας , με και . Δηλαδή το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία καιdennys έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 6η
δίνεται
1)ο γ.τ. του z
2) το
3)αν ποιός ο γ.τ. του w
4)βρείτε το
5)το
6)αν το
βρείτε τα
2) Το ελάχιστο του μέτρου του είναι η απόσταση της αρχής των αξόνων από την παραπάνω ευθεία. Δηλαδή
3) Αν , τότε με και και . Με απαλοιφή του k βρίσκουμε . Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του είναι η ημιευθεία για
4) Το ελάχιστο του μέτρου του είναι η απόσταση της αρχής των αξόνων από την αρχή της ημιευθείας του ερωτήματος 3. Δηλαδή
5) Το ευθύγραμμο τμήμα και η ημιευθεία είναι παράλληλα και συνεπώς η απόσταση γίνεται ελάχιστη όταν ο
πάρει εικόνα στο σημείο και ο στο σημείο .Τότε
6) Όταν τότε πλέον η εικόνα του δεν κινείται πάνω σε ολόκληρη την ημιευθεία , αλλά πάνω στο κομμάτι της με άκρα και αφού: και . Τότε και
EDIT: Με υπόδειξη του dennys έγιναν αλλαγές σε περιορισμούς που είχα παραλείψει
ΥΓ: Όντως καλό θα ήταν να αφήναμε πρώτα τους μαθήτες να προσπαθήσουν. Από την άλλη, η συμμετοχή τους φαίνεται μικρή.
Όντως θα ήταν καλό, αφού πρόκειται για συλλογή, να είναι πιο συμμαζεμένες οι απαντήσεις και όχι σκόρπιες. Από την άλλη όμως κάποιοι είναι ακόμη καινούργιοι και δεν είναι πλήρως εξοικοιωμένοι.
Όντως θα ήταν καλό να δίνονταν απαντήσεις όσο πιο πλήρεις γίνεται και όχι συνοπτικές, αφού θεωρώ ότι αυτό είναι προς όφελος των μαθητών που μας παρακολουθούν. Από την άλλη όμως η άποψη του καθένα από εμάς ως προς την πληρότητα μιας απάντησης διαφέρει.
Εν κατακλείδι, νομίζω ότι υπάρχει αρκετό ενδιαφέρον και συμμετοχή, η οποία είναι προς όφελος όλων.
Φιλικά, Περικλής
τελευταία επεξεργασία από perpant σε Σάβ Δεκ 31, 2011 12:40 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Παντούλας Περικλής
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
Aγαπητέ Περικλή πρόσεξε οτι υπάρχουν περιορισμοί στο κλπ
Φιλικά dennys
Φιλικά dennys
Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
- ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
- Δημοσιεύσεις: 681
- Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
Θεωρώ πως σε μια συλλογή ασκήσεων, ο θεματοδότης πρέπει (μετά απο κάποιο χρόνο) να δείνει και την απάντήση, χωρίς αυτό να είναι αναιρεί την ήδη δωθείσα λύση.
α. Έστω τότε
Επόμενως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο και ακτίνας
Για και έχουμε
Επειδή οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την ,Ο κύκλος διέρχεται απο την αρχή των αξόνων.
β. Αν σημείο του κύκλου . Φέρνουμε την ευθεία , που τέμνει τον κύκλο στο .
Από την γεωμετρία γνωρίζουμε οτι
Έχουμε , οπότε
Για να προσδιορίσουμε τον μιγαδικό με το μέγιστο μέτρο, θά λύσουμε το σύστημα της ευθείας και του κύκλου
Έχουμε . Επομένως :
Επομένως ο μιγαδικός είναι ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο (η άλλη λύση παριστάνει τον μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο)
Β’ Τρόπος για την εύρεση των συντεταγμένων του
Το είναι το συμμετρικό του ως προς το . Χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες του μέσου έχουμε
γ. Επειδή η εξίσωση έχει ρίζα το , θα έχει ρίζα και την
Από τους τύπους του Vietta έχουμε
Β’ τρόπος για την εύρεση των
Επειδή η εξίσωση έχει ρίζα το , θα την επαληθεύει , οπότε
δ. Από το α) ερώτημα έχουμε
Επομένως οι εικόνες του κινούνται σε κύκλο με κέντρο και ακτίνας
ΛΥΣΗΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 2
Αν ισχύει η σχέση (1)
α. Να αποδείξετε οτι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι κύκλος που διέρχεται απο την αρχή των αξόνων
β. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του καθώς και τον μιγαδικό με το μέγιστο μέτρο.
γ. Να προσδιορίσετε τα ,ώστε ο μιγαδικός είναι λύση της εξίσωση
δ. Αν για τον μιγαδικό που ικάνοποιεί την σχέση (1), ισχύει , τότε να αποδείξετε οτι οι εικόνες των μιγαδικών ανήκουν σε κύκλο με κέντρο και ακτίνας
α. Έστω τότε
Επόμενως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο και ακτίνας
Για και έχουμε
Επειδή οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την ,Ο κύκλος διέρχεται απο την αρχή των αξόνων.
β. Αν σημείο του κύκλου . Φέρνουμε την ευθεία , που τέμνει τον κύκλο στο .
Από την γεωμετρία γνωρίζουμε οτι
Έχουμε , οπότε
Για να προσδιορίσουμε τον μιγαδικό με το μέγιστο μέτρο, θά λύσουμε το σύστημα της ευθείας και του κύκλου
Έχουμε . Επομένως :
Επομένως ο μιγαδικός είναι ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο (η άλλη λύση παριστάνει τον μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο)
Β’ Τρόπος για την εύρεση των συντεταγμένων του
Το είναι το συμμετρικό του ως προς το . Χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες του μέσου έχουμε
γ. Επειδή η εξίσωση έχει ρίζα το , θα έχει ρίζα και την
Από τους τύπους του Vietta έχουμε
Β’ τρόπος για την εύρεση των
Επειδή η εξίσωση έχει ρίζα το , θα την επαληθεύει , οπότε
δ. Από το α) ερώτημα έχουμε
Επομένως οι εικόνες του κινούνται σε κύκλο με κέντρο και ακτίνας
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
Άσκηση 9
Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί θετικοί αριθμοί ώστε
Έστω η εξίσωση που έχει ρίζες Να δείξετε ότι
α. Οι ρίζες δεν είναι πραγματικές
β. Ισχύει
γ. Ισχύει
δ. Ο μιγαδικός είναι πραγματικός και να βρείτε τη μικρότερη τιμή του .
ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ
Γιάννης Σταματογιάννης
Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί θετικοί αριθμοί ώστε
Έστω η εξίσωση που έχει ρίζες Να δείξετε ότι
α. Οι ρίζες δεν είναι πραγματικές
β. Ισχύει
γ. Ισχύει
δ. Ο μιγαδικός είναι πραγματικός και να βρείτε τη μικρότερη τιμή του .
ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ
Γιάννης Σταματογιάννης
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
- ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
- Δημοσιεύσεις: 681
- Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
Καλημέρα μπορώ να στείλω τη λύση της άσκησης 9 Ας την διαπραγματευθούν τα μέλη του mathematica .....
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ
Γιάννης Σ
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ
Γιάννης Σ
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
Α Σ Κ Η Σ Η 8
1) Στην δοσμένη σχέση παίρνω μέτρα και με πράξεις =0
2)
3)Στην αρχική αφήνοντας στο 1ο μέλος τα και παίρνοντας μέτρα βρισκω το και ομοια το άλλο.
4)Η αρχική την "ομορφαίνω " ,, AB=3BC ,Αρα τα σημεία ειναι συνευθειακά
1) Στην δοσμένη σχέση παίρνω μέτρα και με πράξεις =0
2)
3)Στην αρχική αφήνοντας στο 1ο μέλος τα και παίρνοντας μέτρα βρισκω το και ομοια το άλλο.
4)Η αρχική την "ομορφαίνω " ,, AB=3BC ,Αρα τα σημεία ειναι συνευθειακά
Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
Ξέχασα το τελευταίο
Η απόσταση ΑΓ υπολογίζεται απο που υπολογίζεται εύκολα απο τα δοσμένα και το γ)
Στο τέλος μην ξεχάσω να αποτετραγωνίσω .Ομοια η ΒΓ
Καλή Χρονιά
dennys
Η απόσταση ΑΓ υπολογίζεται απο που υπολογίζεται εύκολα απο τα δοσμένα και το γ)
Στο τέλος μην ξεχάσω να αποτετραγωνίσω .Ομοια η ΒΓ
Καλή Χρονιά
dennys
Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
καλύτερα θα ήταν οι λύσεις να είναι αναλυτικές (να φαίνονται οι πράξεις κοινώς) κι όχι απλά υποδείξεις
καλή χρονιά
καλή χρονιά
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Σάβ Δεκ 31, 2011 4:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
- Δημοσιεύσεις: 681
- Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
ΛΥΣΗΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 7η
α. Να λύθεί η εξίσωση
β. Έστω οι μιγαδικοί με
i. Να αποδείξετε οτι:
ii. Να αποδείξετε οτι:
iii. Για και , να αποδείξετε οτι ο είναι φανταστικός.
Κ.Ρεκούμης- Κ.Λαγός (εκδόσεις Μεταίχμιο)
Αν και η λύση του Γιώργου με έχει καλύψει, γράφω και άλλους τρόπους για το Βi, μόνο για νά υπάρχουν στην λύση.Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 7η
α. Έχουμε άρα .
β. i) Είναι (1). Πολλαπλασιάζω τα μέλη της (1) με :
άρα
ii) Aν , τότε από τη δοσμένη έχουμε άρα η ζητούμενη ισχύει
Για , από την αρχική έχουμε:
άρα .
iii) Aποδεικνύω την ισοδυναμία :
Έστω . Tότε
Aρκεί, λοιπον, να αποδείξουμε ότι .
Αφού , έχουμε (2)
Έχουμε
Β' Τρόπος
Γ' τρόπος: Θεωρώ πως το βοηθητικό πρώτο ερώτημα, οι συγγραφείς (Κ.Ρεκούμης- Κ.Λαγός ), μάλλον περίμεναν την Γ ΄Λύση.
Αν , οπότε
Αν , τότε
Στα άλλα ερωτήματα ίδιες απαντήσεις.
Πάρομοια άσκηση viewtopic.php?f=51&t=4815
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
Θεωρώ λογικό και σωστό το να υπάρχουν αναλυτικές λύσεις αλλά υπερβολικό το να καθόμαστε σε κάθε ερώτημα να βγάλουμε όλους τους πιθανόυς τρόπους να λυθεί μια άσκηση. Αυτό θέλει το χρόνο του. Σκεφτείτε οτι καθε άσκηση που προτείνεται τυχαία στο θελει δυο μέρες περίπου να αποκτήσει αρκετές λύσεις και πάλι επειδή απέκτησε μερικές λύσεις δεν σημαίνει απαραίτητα οτι δεν έχει άλλες. Στους μιγαδικούς αν ψάχνουμε κάθε ερώτημα με όλους τους δυνατούς τρόπους μπορεί να κερδίζουμε σε ποιότητα λύσεων αλλά χάνουμε στο ενδιαφέρον που ενδεχομένως προκαλεί η συλλογή. Άλλωστε μας νοιάζει περισσότερο η ποικιλία των ερωτημάτων που διαπραγματεύεται παρά οι λύσεις αυτές καθεαυτές, τουλάχιστον έτσι νομίζω. Μπορούμε δηλαδή να προχωρούμε την συλλογή χωρίς να ψάχνουμε κι άλλες λύσεις. Άλλωστε επειδή δεν έχουν όλα τα άτομα την ίδια ευχέρεια στο Latex, λογικό είναι να αποθαρρύνονται να ασχοληθούν. Μερικές σκέψεις μου είναι τα παραπάνω, τίποτα παραπέρα.
φιλικά πάντα
φιλικά πάντα
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
ΑΣΚΗΣΗ 10η
θεωρούμε τον μιγαδικό .
i) Να βρείτε το
ii) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z
iii) Να βρείτε την μικρότερη και την μεγαλύτερη απόσταση της εικόνας του z από την αρχή των αξόνων
iv) Να εξετάσετε αν υπάρχει , ώστε η εικόνα του z να βρίσκεται στην διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων
v) Για να βρείτε τον , ώστε ο να είναι πραγματικός.
θεωρούμε τον μιγαδικό .
i) Να βρείτε το
ii) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z
iii) Να βρείτε την μικρότερη και την μεγαλύτερη απόσταση της εικόνας του z από την αρχή των αξόνων
iv) Να εξετάσετε αν υπάρχει , ώστε η εικόνα του z να βρίσκεται στην διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων
v) Για να βρείτε τον , ώστε ο να είναι πραγματικός.
Παντούλας Περικλής
- ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
- Δημοσιεύσεις: 681
- Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
Ευχαριστώ τον Διονύση (dennis), για την απάντηση. Δημοσιεύω την λύση ,ώστε να είναι η απάντηση σε μία δημοσίευση και να μπορεί να διαβαστεί ευκολότερα απο τα μέλη μας.
β.i.
β.ii. Επειδή έχουμε ότι . Επειδή ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγόρειου θεωρήματος, έχουμε οτι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με
γ.
δ.i.
Επομένως τα σημεία είναι συνευθειακά.
δ.ii. Έχουμε οπότε
όμοια οπότε
α.ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 8η
Δίνονται οι μιγαδικοί με εικόνες αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία , για τους οποίους ισχύει:
κσι
α. Να δείξετε οτι
β. i. Να δείξετε οτι
β.ii. Να δείξετε οτι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
γ. Να υπολογίσετε καθώς και
δ.i. Να δείξετε οτι τα σημεία είναι συνευθειακά.
δ.ii. Να υπολογίσετε τις αποστάσεις και
Χ.Πατήλας (εκδόσεις Κωστόγιαννος)
β.i.
β.ii. Επειδή έχουμε ότι . Επειδή ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγόρειου θεωρήματος, έχουμε οτι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με
γ.
δ.i.
Επομένως τα σημεία είναι συνευθειακά.
δ.ii. Έχουμε οπότε
όμοια οπότε
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
1)Απο την δοσμένη σχέση
εχουμε + και μετράρωντας την ισότητα αφου ισοι μιγαδικοί δίνουν ισα μέτρα έχουμε
δηλ. ο κινείται σε κύκλο κεντρου
2)Για τα μέγιστα -ελάχιστα μέτρα :
3)Επειδή η απόσταση του κέντρου του κύκλου απο την διχοτόμο είναι >1 η διχοτόμος δέν τέμνει τον κύκλο ,αρα
δεν υπάρχουν κοινά σημεία
4)Για , με αντικατάσταση στη σχέση ,βρίσκω οτι δηλ λ=128
εχουμε + και μετράρωντας την ισότητα αφου ισοι μιγαδικοί δίνουν ισα μέτρα έχουμε
δηλ. ο κινείται σε κύκλο κεντρου
2)Για τα μέγιστα -ελάχιστα μέτρα :
3)Επειδή η απόσταση του κέντρου του κύκλου απο την διχοτόμο είναι >1 η διχοτόμος δέν τέμνει τον κύκλο ,αρα
δεν υπάρχουν κοινά σημεία
4)Για , με αντικατάσταση στη σχέση ,βρίσκω οτι δηλ λ=128
Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες