Μιγαδικοί 18

ghan · #1

Έστω $\displaystyle{{\left( z+i \right)}^{m}}={{\left( \frac{1}{5}-\frac{\sqrt{24}}{5}i \right)}^{n}}{{\left( z-i \right)}^{m}}$ , όπου $\displaystyle{m,n\in \mathbb{N}$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{z\in \mathbb{R}$ .

Γιώργος Απόκης · #2

Παίρνοντας μέτρα, έχουμε : $|z+i|^m=1\cdot|z-i|^m\Rightarrow |z+i|=|z-i|$ άρα η εικόνα του

ισαπέχει από τα σημεία

A(0,1),~B(0,-1)

δηλαδή κινείται στη μεσοκάθετο του

, που είναι ο άξονας x'x

. Άρα, $z\in \mathbb R$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #3

ghan έγραψε:Έστω $\displaystyle{{\left( z+i \right)}^{m}}={{\left( \frac{1}{5}-\frac{\sqrt{24}}{5}i \right)}^{n}}{{\left( z-i \right)}^{m}}$ , όπου $\displaystyle{m,n\in \mathbb{N}$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{z\in \mathbb{R}$ .

$\displaystyle{(z + i)^m = (\frac{1}{5} - \frac{{\sqrt {24} }}{5}i)^n (z - i)^m \Rightarrow \left| {z + i} \right|^m = \left| {\frac{1}{5} - \frac{{\sqrt {24} }}{5}i} \right|^n \left| {z - i} \right|^m \Rightarrow \left| {z + i} \right|^m = 1^n \left| {z - i} \right|^m \Rightarrow \left| {z + i} \right| = \left| {z - i} \right|\mathop \Rightarrow \limits^{z = x + yi} }$

$\displaystyle{\left| {x + (y + 1)i} \right| = \left| {x + (y - 1)i} \right| \Rightarrow \sqrt {x^2 + (y + 1)^2 } = \sqrt {x^2 + (y - 1)^2 } \Rightarrow x^2 + (y + 1)^2 = x^2 + (y - 1)^2 \Rightarrow }$

$\displaystyle{y^2 + 2y + 1 = y^2 - 2y + 1 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow z = x \Rightarrow z \in R }$

pito · #4

Βάζοντας μέτρα είναι $|z+i|^{m}=|\frac{1}{5}-\frac{\sqrt{24}}{5}i|^{n}|z-i|^{m}\Rightarrow |z+i|^{m}=(\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{24}{25}})^{n}|z-i|^{m}$
$\Rightarrow |z+i|^{m}=|z-i|^{m}\Rightarrow |z+i|=|z-i|$

Kαι από την τελευταία σχέση η εικόνα του

κινείται στην μεσοκάθετο του

με

και

, που είναι ο άξονας xx'

.
Άρα ο

είναι πραγματικός.

( Σε άλλο πληκτρολόγιο... άργησα!

)

Μιγαδικοί 18

Μιγαδικοί 18

Re: Μιγαδικοί 18

Re: Μιγαδικοί 18

Re: Μιγαδικοί 18

Μέλη σε σύνδεση