Μιγαδικός

Atemlos · #1

Να βρείτε τον μιγαδικό

με την ιδιότητα $\displaystyle{\left| {z - i} \right| = \left| {{z^2} - 1} \right| = \left| {{z^3} + i} \right| = 1}$

#2

Atemlos έγραψε:Να βρείτε τον μιγαδικό με την ιδιότητα $\displaystyle{\left| {z - i} \right| = \left| {{z^2} - 1} \right| = \left| {{z^3} + i} \right| = 1}$

Είναι

$\displaystyle{|z^3+i|=|z^3-i^3|=|(z-i)(z^2+iz+i^2)|=|z-i||z^2+iz-1|,}$ οπότε λόγω των δεδομένων έχουμε

$\displaystyle{\boxed{|z^2+iz-1|=1}}$ (1)

Επίσης, είναι

$\displaystyle{|z-i|=1 \Rightarrow |(z-i)^2|=1 \Rightarrow \boxed{|z^2-2iz-1|=1}}$ (2)

και $\displaystyle{\boxed{|z^2-1|=1}}$ (3)

Η (1) γράφεται $\displaystyle{|2z^2+2iz-2|=2,}$ οπότε σε συνδυασμό με την (2) και με τη τριγωνική ανισότητα βρίσκουμε

$\displaystyle{3=|2z^2+2iz-2|+|z^2-2iz-1|\geq |2z^2+2iz-2+z^2-2iz-1|=|3(z^2-1)|=3,}$ λόγω της σχέσης (3).

Δηλαδή ισχύει η ισότητα στη τριγωνική ανισότητα. Τότε, είναι γνωστό ότι πρέπει

$\displaystyle{2z^2+2iz-2=m(z^2-2iz-1)}$ , (4) όπου $\displaystyle{m}$ μη αρνητικός πραγματικός.

Παίρνοντας μέτρα σε αυτή τη σχέση βρίσκουμε αμέσως $\displaystyle{m=2}$ , οπότε από την (4) προκύπτει $\displaystyle{z=0,}$ ο οποίος ικανοποιεί τις αρχικές.

Μιγαδικός

Μιγαδικός

Re: Μιγαδικός

Μέλη σε σύνδεση