Άσκηση στους Μιγαδικούς.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #1

Σε βελτιώμενη έκδοση βοηθήματος, υπάρχει η εξής ασκηση.
Έστω οι μιγαδικοί z_1,z_2,z_3

.Αν ισχύουν οι ισότητες z_1+z_2+z_3=0

και

με p>0, τότε να δείξετε οτι $z_1^{2^n}+z_2^{2^n}+z_3^{2^n}=0$ , nEN^*

Γνωρίζει κάποιος κάποια λύση (με ύλη Γ Λυκείου);

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Εύκολα προκύπτει z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=0

και λόγω της z_1+z_2+z_3=0

έχουμε

ή

από όπου $z_1=\omega z_2$ ή $z_2=\omega z_1$
όπου $\omega$ μία μη-πραγματική κυβική ρίζα της μονάδας.

Αν $z_1=\omega z_2$ τότε (αφού ${\omega}^2+\omega+1=0$ ) $z_3=-z_1-z_2=-\omega z_2-z_2=\omega^2z_2$

Οπότε, ${z_1}^{2^n}+{z_2}^{2^n}+{z_3}^{2^n}=z_2^{2^n}(1+\omega^{2^n}+\omega^{2^{n+1}}) \ (1)$
Θέτω $\alpha=\omega^{2^n}$ οπότε η (1)

γίνεται ${z_1}^{2^n}+{z_2}^{2^n}+{z_3}^{2^n}=z_2^{2^n}(1+\omega^{2^n}+\omega^{2^{n+1}})=1+\alpha +\alpha^2=\frac{a^3-1}{a-1}=0$ καθώς $\omega^3=1 \implies a^3=1$

Όμοια αν $z_2=\omega z_1$ .

Δεν ξέρω αν ψάχνετε κάτι σαν το παραπάνω.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #3

Παρουσιάζω μία λύση
Είναι $\displaystyle{\displaystyle z_1 \mathop {z_1 }\limits^\_ = z_2 \mathop {z_2 }\limits^\_ = z_3 \mathop {z_3 }\limits^\_ = \rho ^2 }$ άρα η ισότητα $\displaystyle{\displaystyle z_1 + z_2 + z_3 = 0 }$ παίρνοντας συζυγείς γίνεται $\displaystyle{\displaystyle \frac{{\rho ^2 }}{{z_1 }} + \frac{{\rho ^2 }}{{z_2 }} + \frac{{\rho ^2 }}{{z_3 }} = 0 \Rightarrow \rho ^2 \cdot \frac{{z_1 z_2 + z_1 z_3 + z_2 z_3 }}{{z_1 z_2 z_3 }} = 0 }$ άρα $\displaystyle{\displaystyle z_1 z_2 + z_1 z_3 + z_2 z_3 = 0 }$ . Έχουμε
$\displaystyle{\displaystyle \left( {z_1 + z_2 + z_3 } \right)^2 = 0 \Rightarrow z_1 ^2 + z_2 ^2 + z_3 ^2 + 2\left( {z_1 z_2 + z_1 z_3 + z_2 z_3 } \right) = 0 }$ δηλ. $\displaystyle{\displaystyle z_1 ^2 + z_2 ^2 + z_3 ^2 = 0 }$ Η ισότητα
$\displaystyle{\displaystyle z_1 z_2 + z_1 z_3 + z_2 z_3 = 0 }$ γίνεται
$\displaystyle{\displaystyle z_1 z_2 + z_1 z_3 + z_2 z_3 = 0 \Rightarrow z_1 z_2 + z_3 \left( {z_1 + z_2 } \right) = 0 \Rightarrow z_1 z_2 + z_3 ( - z_3 ) = 0 \Rightarrow z_3 ^2 = z_1 z_2 }$
άρα $\displaystyle{\displaystyle z_3 ^3 = z_1 z_2 z_3 }$ και όμοια $\displaystyle{\displaystyle z_2 ^3 = z_1 z_2 z_3 }$ , $\displaystyle{\displaystyle z_1 ^3 = z_1 z_2 z_3 }$ και τελικά $\displaystyle{\displaystyle z_1 ^3 = z_2 ^3 = z_3 ^3 = \lambda }$ .
Ο $\displaystyle{\displaystyle 2^n }$ δεν διαιρείται από το 3 ( είναι πρώτος και θα έπρεπε να διαιρεί έναν τουλάχιστον από τους παράγοντες ) οπότε θα είναι της μορφής 3κ+1 ή 3κ+2
Αν είναι $\displaystyle{\displaystyle 2^n = 3\kappa + 1 }$ τότε $\displaystyle{\displaystyle z_1 ^{3k + 1} + z_2 ^{3k + 1} + z_3 ^{3k + 1} = z_1 ^{3k} \cdot z_1 + z_2 ^{3k} \cdot z_2 + z_3 ^{3k} \cdot z_3 = \lambda ^k (z_1 + z_2 + z_3 ) = 0 }$
Αν είναι $\displaystyle{\displaystyle 2^n = 3\kappa + 2 }$ τότε $\displaystyle{\displaystyle z_1 ^{3k + 2} + z_2 ^{3k + 2} + z_3 ^{3k + 2} = z_1 ^{3k} \cdot z_1 ^2 + z_2 ^{3k} \cdot z_2 ^2 + z_3 ^{3k} \cdot z_3 ^2 = \lambda ^k (z_1 ^2 + z_2 ^2 + z_3 ^2 ) = 0 }$
Νομίζω ότι είναι εντάξει ...

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #4

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΟΥ ΜΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΑΤΕ.

p_gianno · #5

Και μία επαγωγική λύση

complex induction.pdf: (45.51 KiB) Μεταφορτώθηκε 217 φορές

Π.Γ

ΣΤΑΘΗΣ · #6

Μια άλλη λύση με επαγωγη

Άσκηση στους Μιγαδικούς.

Άσκηση στους Μιγαδικούς.

Re: Άσκηση στους Μιγαδικούς.

Re: Άσκηση στους Μιγαδικούς.

Re: Άσκηση στους Μιγαδικούς.

Re: Άσκηση στους Μιγαδικούς.

Re: Άσκηση στους Μιγαδικούς.

Μέλη σε σύνδεση