Ελάχιστη τιμή αθροίσματος

mathxl · #1

Έστω $\displaystyle{z \in C}$ .
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του αθροίσματος $\displaystyle{\mid z - 2\mid + \mid z - 5\mid + \mid z - 7\mid }$ .

Ιστοσελίδα · #2

$|z-2|+|z-5|+|z-7|\geq |(z-2)-(z-7)|+|z-5|=$

$|z-2-z+7|+|z-5|=5+|z-5|\geq 5 .$

Ισότητα μπορούμε να πετύχουμε για z=5 .

Άρα η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος είναι 5 .

mathxl · #3

Ευχαριστώ για την απάντηση.

KARKAR · #4

Μία λύση με ύλη Α' Λυκείου ..

Για σημείο

του επιπέδου προφανώς : $(ZA)+ZB)+(ZC)\geq (Z'A)+(Z'B)+Z'C)$ . Τώρα είναι εύκολο

να διαπιστώσουμε ότι για όποια θέση του

πάνω στον άξονα ( σχετική άσκηση στις ανισότητες Α' Λυκείου)

ισχύει : $|x-2|+|x-5|+|x-7|\geq5$ . Για παράδειγμα για το

του σχήματος ,

δηλαδή για $x\in[2,5]$ είναι : $|x-2|+|x-5|+|x-7|=3+|x-7|\geq5$

mathxl · #5

KARKAR έγραψε:Μία λύση με ύλη Α' Λυκείου ..

Για σημείο του επιπέδου προφανώς : $(ZA)+ZB)+(ZC)\geq (Z'A)+(Z'B)+Z'C)$ . Τώρα είναι εύκολο

να διαπιστώσουμε ότι για όποια θέση του πάνω στον άξονα ( σχετική άσκηση στις ανισότητες Α' Λυκείου)

ισχύει : $|x-2|+|x-5|+|x-7|\geq5$ . Για παράδειγμα για το του σχήματος ,

δηλαδή για $x\in[2,5]$ είναι : $|x-2|+|x-5|+|x-7|=3+|x-7|\geq5$

Αυτή είναι η δική μου λύση αλλά μου άρεσε περισσότερο του Στράτη.
Συπλμηρώνω με επίτευξη ελάχιστης τιμής όταν το

πέσει πάνω στο

parmenides51 · #6

Μερικές γενίκευσεις από τον Γιώργο Ρίζο εδώ (στο συνημμένο Elahisth apostash.pdf)

S.E.Louridas · #7

Βασίλη καλή σου μέρα.
Με την έγκριση σου θα ήθελα να ζητήσω το ελάχιστο της παράστασης:
$X \equiv \left| {z - 2 - i} \right| + \left| {z - 1 - 5i} \right| + \left| {z - 5 - 4i} \right|,\;\;z \in \mathbb{C}.$

S.E.Louridas

KARKAR · #8

Η ποσότητα γράφεται : |z-(2+i)|+|z-(1+5i)|+|z-(5+4i)|

, οπότε ζητάμε σημείο

στο επίπεδο του

τριγώνου , ώστε το άθροισμα των αποστάσεων από τις κορυφές του δημιουργούμενου τριγώνου να ελαχιστοποιηθεί .

Μα αυτό είναι το σημείο Fermat

του τριγώνου ! ( Είναι το σημείο στο οποίο συντρέχουν τα τμήματα που συνδέουν

κάθε κορυφή του τριγώνου με τη κορυφή του επί της απέναντι πλευράς (και εξωτερικά) κατασκευαζόμενου ισοπλεύρου

τριγώνου . Πράξεις ρουτίνας (που τις αναλαμβάνει το λογισμικό ! ) , δίνουν ότι το σημείο είναι το F(2.63 , 3.37)

Ελάχιστη τιμή αθροίσματος

Ελάχιστη τιμή αθροίσματος

Re: Ελάχιστη τιμή αθροίσματος

Re: Ελάχιστη τιμή αθροίσματος

Re: Ελάχιστη τιμή αθροίσματος

Re: Ελάχιστη τιμή αθροίσματος

Re: Ελάχιστη τιμή αθροίσματος

Re: Ελάχιστη τιμή αθροίσματος

Re: Ελάχιστη τιμή αθροίσματος

Μέλη σε σύνδεση