Ανισότητα

#1

Αν $a,b\in \Bbb{R}$ με a+b=1

και $z_1,z_2\in \Bbb{C}$ με |z_1|=|z_2|=1

, να δείξετε ότι

$\displaystyle{|az_1+bz_2|\geq \frac{|z_1+z_2|}{2}.}$

#2

Έχω:

$\displaystyle{ 2\left| {az_1 + bz_2 } \right| = \left| {az_1 + bz_2 } \right| + \left| {az_1 + bz_2 } \right| = \left| {az_1 + bz_2 } \right| + \left| {\overline {az_1 + bz_2 } } \right| = \left| {az_1 + bz_2 } \right| + \left| {\overline {az_1 } + \overline {bz_2 } } \right| }$
Συνεχίζοντας:
$\displaystyle{ \left| {az_1 + bz_2 } \right| + \left| {\overline {az_1 } + \overline {bz_2 } } \right| = \left| {az_1 + bz_2 } \right| + \left| {a\overline {z_1 } + b\overline {z_2 } } \right|\mathop = \limits^{\overline {z_1 } = \frac{1}{{z_1 }},\overline {z_2 } = \frac{1}{{z_2 }}} \left| {az_1 + bz_2 } \right| + \left| {a\frac{1}{{z_1 }} + b\frac{1}{{z_2 }}} \right| = \left| {az_1 + bz_2 } \right| + \frac{{\left| {az_2 + bz_1 } \right|}}{{\left| {z_1 } \right|\left| {z_2 } \right|}} }$
Τελικά:
$\displaystyle{ 2\left| {az_1 + bz_2 } \right| = \left| {az_1 + bz_2 } \right| + \left| {az_2 + bz_1 } \right| \ge \left| {az_1 + bz_2 + az_2 + bz_1 } \right| = \left| {(a + b)z_1 + (a + b)z_2 } \right| = \left| {z_1 + z_2 } \right| }$
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση