Τριώνυμο

alexandropoulos · #1

Οι μιγαδικοί $z_1, z_2\epsilon C^*$ επαληθεύουν την ισότητα $\left|z_1+z_2 \right|=\left|z_1 \right|+\left|z_2 \right|$ .
Αν οι αριθμοί $\alpha, \beta, \gamma$ είναι πραγματικοί με $\alpha \neq 0$ και η εξίσωση $\alpha z^2+\beta z+\gamma=0$ έχει ρίζες τους ${\frac{z_1}{z_2}}$ και $1+\frac{z_1}{z_2}$ , να δειχθεί ότι $\alpha \gamma>0$ και $\alpha \beta<0$

Edit από Γενικούς Συντονιστές.

Edit: συμπληρώθηκαν ελλείψεις

#2

Έχω την εντύπωση πως κάποιες (σημαντικές) υποθέσεις λείπουν.
Θεωρώντας πως $a\ne 0$ , έχω:
Αν z_1=0

παρατηρώ πως δεν έχω το συμπέρασμα που θέλω.
Επομένως $z_1\ne 0.$
Από τη σχέση $\displaystyle{ \left| {z_1 + z_2 } \right| = \left| {z_1 } \right| + \left| {z_2 } \right| }$ έπεται $\displaystyle{ z_1 = \lambda z_2 ,\lambda > 0 }$
αν αντικαταστήσω τότε οι ρίζες είναι: $\displaystyle{ 1 + \lambda ,\lambda }$
Απο τους τύπους Vieta έχουμε:
$\displaystyle{ - \frac{\beta }{\alpha } = 1 + 2\lambda \Rightarrow \frac{\beta }{\alpha } = - (1 + 2\lambda ) < 0,\frac{\gamma }{\alpha } = \lambda(1+\lambda) > 0 \Rightarrow \alpha \beta < 0,\alpha \gamma > 0 }$

alexandropoulos · #3

chris_gatos έγραψε:Έχω την εντύπωση πως κάποιες (σημαντικές) υποθέσεις λείπουν.
Θεωρώντας πως $a\ne 0$ , έχω:
Αν παρατηρώ πως δεν έχω το συμπέρασμα που θέλω.
Επομένως $z_1\ne 0.$
Από τη σχέση $\displaystyle{ \left| {z_1 + z_2 } \right| = \left| {z_1 } \right| + \left| {z_2 } \right| }$ έπεται $\displaystyle{ z_1 = \lambda z_2 ,\lambda > 0 }$
αν αντικαταστήσω τότε οι ρίζες είναι: $\displaystyle{ 1 + \lambda ,\lambda }$
Απο τους τύπους Vieta έχουμε:
$\displaystyle{ - \frac{\beta }{\alpha } = 1 + 2\lambda \Rightarrow \frac{\beta }{\alpha } = - (1 + 2\lambda ) < 0,\frac{\gamma }{\alpha } = \lambda(1+\lambda) > 0 \Rightarrow \alpha \beta < 0,\alpha \gamma > 0 }$

Ταχύτατη λύση

Τριώνυμο

Τριώνυμο

Re: Τριώνυμο

Re: Τριώνυμο

Μέλη σε σύνδεση