Εύρεση μιγαδικών

#1

Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί $\displaystyle{z_1,z_2,z_3 }$ με

$\displaystyle{z_1+z_2+z_3 = 1 }$ και $\displaystyle{ |z_1+z_2|=|z_2+z_3|=|z_3+z_1|=\frac {2}{3}}$

Μπάμπης

#2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί $\displaystyle{z_1,z_2,z_3 }$ με

$\displaystyle{z_1+z_2+z_3 = 1 }$ και $\displaystyle{ |z_1+z_2|=|z_2+z_3|=|z_3+z_1|=\frac {2}{3}}$

Μπάμπης

Ας είναι $\displaystyle{a=z_1+z_2,~ b=z_2+z_3,~ c=z_3+z_1}$ .

Τότε, είναι

$\displaystyle{|a|=|b|=|c|=\frac{2}{3}}$ και $\displaystyle{a+b+c=2.}$

Άρα, ισχύει η ισότητα στην τριγωνική ανισότητα, αφού

$\displaystyle{2=|a+b+c|\leq |a|+|b|+|c|=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=2.}$

Άρα (*) υπάρχουν θετικοί $\displaystyle{x,y}$ ώστε $\displaystyle{b=xa,c=ya.}$

Από τις ισότητες των μέτρων των $\displaystyle{a,b,c}$ προκύπτει $\displaystyle{x=y=1,}$ άρα $\displaystyle{a=b=c=\frac{2}{3}}$

και επομένως, $\displaystyle{z_1=z_2=z_3=\frac{1}{3}.}$

(*) Χρησιμοποιήθηκε η ιδιότητα:

Αν $\displaystyle{a,b,c\in \mathbb{C}^*}$ και $\displaystyle{|a+b+c|=|a|+|b|+|c|}$

τότε $\displaystyle{b=xa,c=yb}$ για κάποιους θετικούς $\displaystyle{x,y.}$

Ο μαθητής που δεν τη γνωρίζει, ας επιχειρήσει να την αποδείξει.

#3

Εύκολα λαμβάνουμε:
$\displaystyle{ |1 - z_1 | = |1 - z_2 | = |1 - z_3 | = \frac{2}{3} }$
Υψώνοντας στο τετράγωνο και μετά τις σχετικές πράξεις,έχω:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} |1 - z_1 |^2 = \frac{4}{9} \Rightarrow ...1 - z_1 - \overline {z_1 } + |z_1 |^2 = \frac{4}{9} \\ |1 - z_2 |^2 = \frac{4}{9} \Rightarrow ...1 - z_2 - \overline {z_2 } + |z_2 |^2 = \frac{4}{9} \\ |1 - z_3 |^2 = \frac{4}{9} \Rightarrow ...1 - z_3 - \overline {z_3 } + |z_3 |^2 = \frac{4}{9} \\ \end{array} }$
Με πρόσθεση των παραπάνω κατά μέλη έχουμε εύκολα:
$\displaystyle{ |z_1 |^2 + |z_2 |^2 + |z_3 |^2 = \frac{1}{3} }$
Τώρα θα χρησιμοποιήσω ως γνωστή την ισότητα:
$\displaystyle{ 2|z_1 |^2 + 2|z_2 |^2 = |z_1 + z_2 |^2 + |z_1 - z_2 |^2 }$
Εργαζόμενος κυκλικά:
$\displaystyle{ \begin{array}{l} 2|z_2 |^2 + 2|z_3 |^2 = |z_2 + z_3 |^2 + |z_2 - z_3 |^2 \\ 2|z_3 |^2 + 2|z_1 |^2 = |z_3 + z_1 |^2 + |z_3 - z_1 |^2 \\ \end{array} }$
Προσθέτοντας κατά μέλη:
$\displaystyle{ |z_1 - z_2 |^2 + |z_2 - z_3 |^2 + |z_3 - z_1 |^2 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow |z_1 - z_2 |^2 + |z_2 - z_3 |^2 + |z_3 - z_1 |^2 = 0 }$
ή
$\displaystyle{ |z_1 - z_2 | = |z_2 - z_3 | = |z_3 - z_1 | = 0 \Rightarrow z_1 = z_2 = z_3 }$
και αν ανατρέξουμε στην αρχική σχέση,λαμβάνουμε:
$\displaystyle{ z_1 = z_2 = z_3 = \frac{1}{3} }$
Λύση δεκτή αφού επαληθεύει τις υποθέσεις μας.

parmenides51 · #4

Ας το δούμε και γεωμετρικά ...

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί $\displaystyle{z_1,z_2,z_3 }$ με

$\displaystyle{z_1+z_2+z_3 = 1 }$ και $\displaystyle{ |z_1+z_2|=|z_2+z_3|=|z_3+z_1|=\frac {2}{3}}$

Συνδυάζοντας τις δοθείσες σχέσεις έχουμε πως $\displaystyle{ |1-z_2|=|1-z_2|=|1-z_3|=\frac {2}{3}}$
συνεπώς οι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{A(z_1),B(z_2),\Gamma (z_3)}$ κινούνται στον κύκλο με κέντρο το σημείο $\displaystyle{K(1,0)}$ κι ακτίνα $\displaystyle{\rho=\frac{2}{3}}$ .

Έστω ότι σχηματίζεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με βαρύκεντρο $\displaystyle{G}$ , τότε

$\displaystyle{z_1+z_2+z_3 = 1\Rightarrow \frac{z_1+z_2+z_3 }{3}=\frac{1}{3} \Rightarrow G=\left(\frac{1}{3} ,0\right)} }$ που ανήκει στον κύκλο $\displaystyle{(K,\rho)}$

δηλαδή το βαρύκεντρο του τριγώνου ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου, άτοπο

διότι σε κάθε τρίγωνο το βαρύκεντρο του είναι εσωτερικό σημείου του τριγώνου.

Άρα δεν σχηματίζεται τρίγωνο, συνεπώς τα τρία σημεία είναι συνευθειακά.

Επειδή τα σημεία τομής ενός κύκλου και μιας τεμνόμενης ευθείας είναι δυο,

τα σημεία είτε ταυτίζονται και τα τρία είτε τα δυο ταυτίζονται και το τρίτο είναι το άλλο σημείο τομής της τέμνουσας και του κύκλου.

$\displaystyle{\bullet }$ Αν ταυτίζονται και τα τρία σημεία, έχουμε $\displaystyle{z_1=z_2=z_3=\frac{1}{3}}$ λύση δεκτή (κατόπιν επαλήθευσης).

$\displaystyle{\bullet }$ Αν ταυτίζονται μόνο τα δυο σημεία, τότε $\displaystyle{z_1=z_2}$ και $\displaystyle{ z_2\ne z_3}$

οπότε θα έχουμε πως $\displaystyle{|z_1+z_1|=\frac {2}{3} \Rightarrow 2|z_1|=\frac {2}{3} \Rightarrow |z_1|=\frac {1}{3}}$ και επειδή $\displaystyle{|z_2+z_3|=\frac {2}{3}\Rightarrow|1-z_1|=\frac {2}{3}}}$

η εικόνα του $\displaystyle{z_1}$ θα είναι το σημείο τομής των κύκλων $\displaystyle{\left(O,\frac{1}{3}\right), \left(K,\frac{2}{3}\right)}$ που είναι το σημείο $\displaystyle{ \left(\frac{1}{3},0\right)}$ .

άρα $\displaystyle{z_1=z_2=\frac{1}{3}}$ κι επειδή $\displaystyle{z_1+z_2+z_3 = 1}$ τότε έχουμε πως και $\displaystyle{ z_3=\frac{1}{3}}$ , λύση που απορρίπτεται γιατί υποθέσαμε πως $\displaystyle{ z_2\ne z_3}$ .

Τελικά οι ζητούμενοι μιγαδικοί είναι οι $\displaystyle{z_1=z_2=z_3=\frac{1}{3}}$

Υ.Γ. Ο Σεραφείμ θα μας έλεγε ως συνήθως (πχ)

Το τρίγωνο με εικόνες τους 3 μιγαδικούς, έχει τις κορυφές του και το κέντρο βάρους του πάνω στον ίδιο κύκλο.
Αυτό μπορεί να συμβεί, μόνον αν οι τρεις εικόνες και το κέντρο βάρους ταυτίζονται.

zorba_the_freak · #5

Πρόταση:
Αν $\rho\geq0$ και $z,w,u\in\mathbb{C},$ ώστε z+w+u=0

και $|z-\rho|=|w-\rho|=|u-\rho|=\rho,$ τότε z=w=u=0

Απόδειξη

Είναι: $3\rho^2=|z-\rho|^2+|w-\rho|^2+|u-\rho|^2=\sum(z-\rho)(\overline{z}-\rho)=|z|^2+|w|^2+|u|^2+3\rho^2,$ άρα |z|^2+|w|^2+|u|^2=0,

άρα

Λύση άσκησης:
Θέτουμε $\displaystyle z_1-\frac{1}{3}=z, z_2-\frac{1}{3}=w$ και $\displaystyle z_3-\frac{1}{3}=u.$
Τότε είναι $z_1+z_2+z_3=1\Leftrightarrow z+w+u=0$ και $\displaystyle|z_1+z_2|=\frac{2}{3}\Leftrightarrow\left|z+w+\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}\Leftrightarrow\left|u-\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}$ και όμοια είναι $\displaystyle\left|z-\frac{2}{3}\right|=\left|w-\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}.$
Επομένως είναι εφαρμογή της αρχικής πρότασης, για $\displaystyle\rho=\frac{2}{3}.$ Προκύπτει z=w=u=0,

άρα $\displaystyle z_1=z_2=z_3=\frac{1}{3}$

Εύρεση μιγαδικών

Εύρεση μιγαδικών

Re: Εύρεση μιγαδικών

Re: Εύρεση μιγαδικών

Re: Εύρεση μιγαδικών

Re: Εύρεση μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση