ΑΣΚΗΣΗ 2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ.(Δελτίο Νο:4)

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Χάρης Γ.Λ.
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 10:53 am
Τοποθεσία: Κατερίνη

ΑΣΚΗΣΗ 2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ.(Δελτίο Νο:4)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χάρης Γ.Λ. »

Άλλη μία καλή άσκηση μιγαδικών για διαγώνισμα

Έστω οι μιγαδικοί z , w τέτοιοι ώστε \left| {z - 2} \right| = \left| {z + 4i} \right|{\rm{ }} και \left| {w + 2} \right| = \left| {w - 4i} \right|{\rm{ }} .

α) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των z , w κινούνται σε ευθείες παράλληλες .

β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης \left| {z - w} \right|.

γ) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης \left| {z + w} \right|.

δ) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης \left| {z - w - 2i} \right|.
Δίνω κ τις απαντησεις των ερωτημάτων
α) Ο γ.τ. των εικονων του z είναι η ευθεία \displaystyle{{\varepsilon _1}:x + 2\psi + 3 = 0} ενώ του w είναι η \displaystyle{{\varepsilon _2}:x + 2\psi - 3 = 0}
β) \displaystyle{{\left| {z - w} \right|_{\min }} = d\left( {{\varepsilon _1},{\varepsilon _2}} \right) = \frac{{6\sqrt 5 }}{5}}
γ)\displaystyle{{\left| {z + w} \right|_{\min }} = 0}
δ)\displaystyle{{\left| {z - w - 2i} \right|_{\min }} = 2\sqrt 5 }
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος Χάρης Γ.Λ. την Πέμ Σεπ 03, 2009 12:23 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Χάρης Γ. Λάλας
___________________
\displaystyle{\sum\limits_n {{n^{ - s}}} = \prod\limits_p {{{\left( {1 - {p^{ - s}}} \right)}^{ - 1}}} }
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ 2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ »

Συμφωνώ πως είναι άλλη μια καλή άσκηση.Το α και β εύκολα αντιμετωπίζονται απο τους μαθητές. Πιστεύω πως το γ και δ είναι λίγο δύσκολα για το επίπεδο των περισσοτέρων μαθητών.

α. \displaystyle{ \left| {z - 2} \right| = \left| {z + 4i} \right|(1) } Η (1) παριστάνει την μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, όπου Α(2,0) και Β(0,-4)
Έχω \displaystyle{ \lambda _{AB} = 2 }, οπότε \displaystyle{ \lambda _{\varepsilon _1 } = - \frac{1}{2} } και Μ(1,-2) το μέσο του ΑΒ. Συνεπώς \displaystyle{ \varepsilon _1 :y + 2 = - \frac{1}{2}(x - 1) \Leftrightarrow x + 2y + 3 = 0 }

\displaystyle{ \left| {w + 2} \right| = \left| {w - 4i} \right|(2) }
Ομοια η (2) παριστάνει την μεσοκάθετου του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ, όπου Γ(-2,0) και Δ(0,4), οπότε \displaystyle{ \lambda _{\Gamma \Delta } = 2 } άρα \displaystyle{ \lambda _{\varepsilon _2 } = - \frac{1}{2} } και Λ(-1,2) μέσο του ΓΔ. Συνεπώς \displaystyle{ \varepsilon _2 :y - 2 = - \frac{1}{2}(x + 1) \Leftrightarrow x + 2y - 3 = 0 }

Έχουμε \displaystyle{ \lambda _{\varepsilon _1 } = \lambda _{\varepsilon _2 } }. Αρα οι εικόνες των z,w κινούνται σε δύο παράλληλες ευθείες.

β. \displaystyle{ \left| {z - w} \right|_{\min } = d(\varepsilon _1 ,\varepsilon _2 ) = d(M,\varepsilon _2 ) = \frac{{\left| {1 + 2( - 2) - 3} \right|}}{{\sqrt {1^2 + 2^2 } }} = \frac{6}{{\sqrt 5 }} = \frac{{6\sqrt 5 }}{5} }


γ. Επειδή η εικόνα του w κινείται στην ευθεία \displaystyle{ \varepsilon _2 : } x+2y-3=0 η εικόνα του –w θα κινείται στην συμμετρική της \displaystyle{ \varepsilon _2 : } ως προς το Ο(0,0) ,δηλ στην \displaystyle{ \varepsilon _1 }.
Αρα, οι εικόνες των z και –w κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία. Αρα, \displaystyle{ \left| {z + w} \right|_{\min } = \left| {z - ( - w)} \right|_{\min } = 0 }

δ.
Εστω v=w+2i με v=α+βi και w=x+yi με \displaystyle{ \alpha ,\beta ,x,y \in \Re }. Έχουμε οτι η εικόνα του w κινείται στην ευθεία \displaystyle{ \varepsilon _2 }

Οπότε \displaystyle{ \alpha + \beta i = x + yi + 2i } και \displaystyle{ x + 2y - 3 = 0 }, συνεπώς η εικόνα του v κινείται στην ευθεία \displaystyle{ \varepsilon _3 } x+2y-7=0
\displaystyle{ \left| {z - w - 2i} \right|_{\min } = \left| {z - (w + 2i)} \right|_{\min } = d(\varepsilon _1 ,\varepsilon _3 ) = d(M,\varepsilon _3 ) = \frac{{\left| {1 + 2( - 2) - 7} \right|}}{{\sqrt {1^2 + 2^2 } }} = \frac{{10}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5 }

Στο δ. βρίσκω \displaystyle{ 2\sqrt 5 } και όχι \displaystyle{ \sqrt 5 }, που δίνεται σαν λύση.Μάλλον θα έχω κάνει κάποιο λάθος...
\displaystyle{ {\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c} {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma } \\ \end{array} }
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Χάρης Γ.Λ.
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 10:53 am
Τοποθεσία: Κατερίνη

Re: ΑΣΚΗΣΗ 2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χάρης Γ.Λ. »

Δημητρη το αποτελεσμα σου είναι σωστο το λάθος το είχα κάνει εγω στην αντιγραφή.
Όντως τα ερωτήματα (γ) και (δ) είναι δύσκολα κ έχουν πρόβλημα οι περισότερο μαθητές . Πιστεύω όμως με μία μικρή καθοδηγηση να μπορούν να τα λυσουν .

Κάνω κ την απαραίτητη διόρθωση στις απαντήσεις .
Χάρης Γ. Λάλας
___________________
\displaystyle{\sum\limits_n {{n^{ - s}}} = \prod\limits_p {{{\left( {1 - {p^{ - s}}} \right)}^{ - 1}}} }
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης