Βρείτε τους!

#1

...αν ισχύει |z-i|=|z^2-1|=|z^3+i|=1

.

http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=44&t=2312&start=0

pito · #2

Με κάθε επιφύλαξη:

Είναι $|z^{3}+i|=1\Rightarrow |z^{3}-i^{3}|=1\Rightarrow |z-i||z^{2}+iz-1|=1\Rightarrow |z^{2}+iz-1|=1 (1)$
και $|z^{2}-1|=1$ (2)
(1), (2) : $|z^{2}-1|=|z^{2}+iz-1|\Rightarrow (z^{2}-1)(\bar{z}^{2}-1)=(z^{2}+iz-1)(\bar{z}^{2}-i\bar{z}-1)$
$\Rightarrow |z|^{4}-z^{2}-\bar{z}^{2}+1=|z|^{4}-iz^{2}\bar{z}-z^{2}+iz\bar{z}^{2}+|z|^{2}-iz-\bar{z}^{2}+i\bar{z}+1=0\Rightarrow ...\Rightarrow 2y(x^{2}+y^{2})+x^{2}+y^{2}+2y=0 (3)$ ( η τελευταία προκύπτει αφού θέσουμε $z=x+yi,x,y\in R$

Ακόμη $|z-i|=1\Rightarrow x^{2}+(y-1)^{2}=1\Rightarrow x^{2}+y^{2}=2y (4)$
Λύνοντας το σύστημα των (3), (4) είναι $4y+4y^{2}=0\rightarrow y=0 \eta y=-1$
Για $y=0\Rightarrow x=0\Rightarrow z=0$ , λύση που επαληθεύει το αρχικό δοσμένο σύστημα .
Για $y=-1\Rightarrow x^{2}=-3$ , άτοπο!

Τελικά ο μοναδικός μιγαδικός που είναι λύση του συστήματος είναι ο z=0

parmenides51 · #3

εδώ

Βρείτε τους!

Βρείτε τους!

Re: Βρείτε τους!

Re: Βρείτε τους!

Μέλη σε σύνδεση