Υπολογισμός του z1*z2*z3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Καλημέρα μια ξεχωριστή ασκηση από μαθητη μου

Ασκηση
Έστω $\displaystyle{ z_1 ,\,z_2 ,\,z_3 \in C - R }$ με $\displaystyle{ \,\left| {z_1 } \right| = \left| {z_2 } \right| = \left| {z_3 } \right| }$ και
$\displaystyle{ z_1 \ne \,z_2 \ne z_3 }$ . Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς $\displaystyle{ u_1 = z_1 + z_2 z_3 }$ , $\displaystyle{ u_2 = z_2 + \,z_1 z_3 \,\, }$ και $\displaystyle{ u_3 = z_3 + \,z_1 z_2 }$ ισχύει ότι $\displaystyle{ \left[ {{\mathop{\rm Im}\nolimits} (u_1 )} \right]^2 + \left[ {{\mathop{\rm Im}\nolimits} (u_2 )} \right]^2 + 3\left[ {{\mathop{\rm Im}\nolimits} (u_3 )} \right]^2 \le 2{\mathop{\rm Im}\nolimits} (u_1 ){\mathop{\rm Im}\nolimits} (u_3 ) + 2{\mathop{\rm Im}\nolimits} (u_2 ){\mathop{\rm Im}\nolimits} (u_3 ) }$ τότε να υπολογιστεί το γινόμενο $\displaystyle{ z_1 z_2 z_3 }$ .

#2

Η δοσμένη σχέση για τα $\displaystyle{Imu_i=y_i}$ γράφεται $\displaystyle{(y_1-y_3)^2+(y_2-y_3)^2+y_3^2=0}$

άρα τα $\displaystyle{u_i=a+bc \in R}$ οπότε αν $\displaystyle{|a|=|b|=|c|=r}$ εφαρμόζοντας την ιδιότητα $\displaystyle{u=\bar {u} , \bar{a}=r^2/a}$ θα έχουμε $\displaystyle{a+bc=...=\frac{r^2}{abc}(bc+ar^2)}$ [1] και κυκλικά τις [2] και [3]

Αν διαιρέσουμε την [1] με την [2] και στην αναλογία που προκύπτει προσθέσουμε τους παρονομαστές στους αριθμητές και από τους παρονομαστές αφαιρέσουμε τους αριθμητές βγαίνει $\displaystyle{\frac{(a+b)(1+c)}{(b-a)(1-c)}=\frac{(a+b)(r^2+c)}{(b-a)(r^2-c)}}$ οπότε εύκολα μετά τις λίγες πράξεις $\displaystyle{r=1}$

Από την [1] $\displaystyle{abc=1}$

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Β τρόπος:
Η σχέση για $\displaystyle{ {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {u_i } \right) = y_i ,\,\,y_i \in R }$
γράφεται $\displaystyle{ \left( {y_1 - y_2 } \right)^2 + \left( {y_2 - y_3 } \right)^2 + y_3 ^2 \le 0 }$

οπότε: $\displaystyle{y_1 = y_2 = y_3 = 0}$ άρα τα $\displaystyle{u_i \,\,,i = 1,2,3}$ είναι πραγματικοί αριθμοί, επομένως:
$\displaystyle{ u_1 \in R \Leftrightarrow u_1 = \overline {u_1 } \Leftrightarrow z_1 + z_2 z_3 = \overline {z_1 } + \overline {z_2 z_3 } }$ και από τα δεδομένα για τα μέτρα των μιγαδικών ότι είναι ίσα αν υψώσουμε στο τετράγωνο έχουμε $\displaystyle{z_i = \frac{1}{{\overline {z_i } }}}$ άρα,
$\displaystyle{ z_1 + z_2 z_3 = \frac{1}{{z_1 }} + \frac{1}{{z_2 z_3 }} }$ και μετά από πράξεις έχουμε,
$\displaystyle{ \left( {z_1 z_2 z_3 - 1} \right)\left( {z_1 + z_2 z_3 } \right) = 0 }$ δηλαδή $\displaystyle{z_1 z_2 z_3 = 1}$ αφού $\displaystyle{z_1 + z_2 z_3 \ne 0}$

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Ότι $\displaystyle{ z_1 + z_2 z_3 \ne 0 }$
αποδεικνύεται με πολλούς τρόπους και αφήνετια ως άσκηση!

#5

mac190604 έγραψε:Β τρόπος:
Η σχέση για $\displaystyle{ {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {u_i } \right) = y_i ,\,\,y_i \in R }$
γράφεται $\displaystyle{ \left( {y_1 - y_2 } \right)^2 + \left( {y_2 - y_3 } \right)^2 + y_3 ^2 \le 0 }$

οπότε: $\displaystyle{y_1 = y_2 = y_3 = 0}$ άρα τα $\displaystyle{u_i \,\,,i = 1,2,3}$ είναι πραγματικοί αριθμοί, επομένως:
$\displaystyle{ u_1 \in R \Leftrightarrow u_1 = \overline {u_1 } \Leftrightarrow z_1 + z_2 z_3 = \overline {z_1 } + \overline {z_2 z_3 } }$ και από τα δεδομένα για τα μέτρα των μιγαδικών ότι είναι ίσα αν υψώσουμε στο τετράγωνο έχουμε $\displaystyle{z_i = \frac{1}{{\overline {z_i } }}}$ άρα,
$\displaystyle{ z_1 + z_2 z_3 = \frac{1}{{z_1 }} + \frac{1}{{z_2 z_3 }} }$ και μετά από πράξεις έχουμε,
$\displaystyle{ \left( {z_1 z_2 z_3 - 1} \right)\left( {z_1 + z_2 z_3 } \right) = 0 }$ δηλαδή $\displaystyle{z_1 z_2 z_3 = 1}$ αφού $\displaystyle{z_1 + z_2 z_3 \ne 0}$

$\displaystyle{z_i = \frac{1}{{\overline {z_i } }}}$ πως δείχνουμε οτι τα ίσα μέτρα είναι 1?

hsiodos · #6

Καλησπέρα

Περιμένοντας να δω την λύση που έχει ο Στράτος δίνω μια λίγο διαφορετική προσέγγιση από αυτή του Ροδόλφου αφού έχει αποδειχθεί ότι οι u_1,u_2,u_3

είναι πραγματικοί.
Έστω $\displaystyle{\left| {\,z_1 } \right| = \left| {\,z_2 } \right| = \left| {\,z_3 } \right| = r > 0}$ οπότε $\displaystyle{ \,\bar z_1 = \frac{{r^2 }}{{z_1 }}\,\,\,,\,\,\bar z_2 = \frac{{r^2 }}{{z_2 }}\,\,,\,\,\bar z_3 = \frac{{r^2 }}{{z_3 }}\,}$

Ονομάζουμε $\displaystyle{z_1 z_2 z_3 = c}$

Είναι $\displaystyle{ u_1 = \,\bar u_1 \, \Rightarrow \,z_1 + z_2 z_3 = \bar z_1 + \bar z_2 \bar z_3 \,\, \Rightarrow \,z_1 + z_2 z_3 = \,\frac{{r^2 }}{{z_1 }} + \frac{{r^4 }}{{z_2 z_3 }}\,}$ \displaystyle{\displaystyle{
\Rightarrow \,z_1 c + z_2 z_3 c = r^2 z_2 z_3 + r^4 z_1 \,}} $\displaystyle{ \Rightarrow \,z_1^2 c + c^2 = cr^2 + r^4 z_1^2 \,\, \Rightarrow z_1^2 (c - r^4 ) = c(r^2 - c)\,\,(1)}$

και ομοίως $\displaystyle{z_2^2 (c - r^4 ) = c(r^2 - c)\,\,(2)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,z_3^2 (c - r^4 ) = c(r^2 - c)\,\,(3)\,}$

Αν $\displaystyle{c - r^4 \ne 0}$ τότε από τις (1),(2),(3) προκύπτει $\displaystyle{z_1^2 = z_2^2 = z_3^2 }$ που μας δίνει ότι δύο τουλάχιστον από τους $\displaystyle{ \,z_1 ,z_2 ,z_3 }$ είναι μεταξύ τους ίσοι που είναι άτοπο.

Συνεπώς $\displaystyle{c - r^4 = 0}$ οπότε από (1) και $\displaystyle{r^2 - c=0}$ , δηλαδή $\displaystyle{r^4 = r^2 = c}$ και έτσι βρίσκουμε $\displaystyle{ c\, = r = 1 }$

Γιώργος

Μάκης Χατζόπουλος · #7

Μια χαρά Γιώργο κ έτσι αποδεικνύεται ότι τα μέτρα είναι ίσον με 1. Στην αρχή νόμιζα ότι μας το έδινε, αλλά μόλις μου το επισήμανε ο Μπόρης, κάτι τέτοιο είχα στο μυαλό μου, να τα ονομάσω με r και να προχωρήσω όμοια... Με έσωσες από τον κόπο! Thanks George!

Υπολογισμός του z1z2z3

Υπολογισμός του z1z2z3

Re: Υπολογισμός του z1z2z3

Re: Υπολογισμός του z1z2z3

Re: Υπολογισμός του z1z2z3

Re: Υπολογισμός του z1z2z3

Re: Υπολογισμός του z1z2z3

Re: Υπολογισμός του z1z2z3

Μέλη σε σύνδεση