Μιγαδικοί και γεωμετρία

hsiodos · #1

Έστω $z\in C,z\neq 2$ και ο φανταστικός αριθμός $\displaystyle{w = \,\,\,\frac{{z + 1 - 3i\,}}{{2 - \bar z}}}$

α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) - {\mathop{\rm Im}\nolimits} (z) = - 1\,\,\,\,(1)}$ ή $\displaystyle{ {\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) + {\mathop{\rm Im}\nolimits} (z) = \,\,2\,\,\,\,(2)}$

β) Έστω Μ , Ν οι εικόνες των z που ικανοποιούν τις (1) και (2) αντίστοιχα.
Ονομάζουμε C τους κύκλους που διέρχονται από τα σημεία Μ , Ν , Ο (Ο η αρχή των αξόνων) έτσι ώστε $\displaystyle{\mathop {MON}\limits^ \wedge \, = \,90^0 }$ .
Από τους κύκλους C να βρείτε εκείνον με το μικρότερο εμβαδόν και να τον ονομάσετε C_1

.

γ) Έστω Α, Β οι εικόνες εκείνων των z έτσι ώστε η ΑΒ να είναι διάμετρος του κύκλου C_1

. Θεωρούμε και έναν από τους κύκλους C διαφορετικό του C_1

. Αν η ευθεία ΑΒ τέμνει την ΜΝ στο Κ να δείξετε ότι ΟΚ κάθετη στην ΜΝ.

Γιώργος

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Κάτσε Γιώργο γιατί δεν καταλαβαίνω κάτι...
α) Αυτό νομίζω ότι είναι απλό, αφού w φανταστικός τότε θα ισούται με τον αντίθετο του συζηγής του, πράξεις κ παίρνουμε το ζητούμενο, οκ;

β)Εδώ έχω θέμα, από τα δεδομένα παίρνουμε Μ(χ,χ+1) ενώ Ν(χ,2-χ) πρέπει τα διανύσματα ΟΜ, ΟΝ αφού είναι κάθετα να ισχύει ΟΜ*ΟΝ=0 κ μετά από πράξεις βρίσκουμε χ=-2, άρα τα Μ,Ν είναι γνωστά κ βρίσκουμε τον μοναδικό κύκλο που διέρχεται από αυτά κ το Ο. (ποιος είναι ο κύκλος με το ελάχιστο εμβαδόν;;; Αφού από τρία σημεία περνάει μοναδικός κύκλος, έτσι;) Μάλλον δεν έχω πιάσει καλά την εκφώνηση της άσκησης...

hsiodos · #3

mac190604 έγραψε:Κάτσε Γιώργο γιατί δεν καταλαβαίνω κάτι...
α) Αυτό νομίζω ότι είναι απλό, αφού w φανταστικός τότε θα ισούται με τον αντίθετο του συζηγής του, πράξεις κ παίρνουμε το ζητούμενο, οκ;

β)Εδώ έχω θέμα, από τα δεδομένα παίρνουμε Μ(χ,χ+1) ενώ Ν(χ,2-χ) πρέπει τα διανύσματα ΟΜ, ΟΝ αφού είναι κάθετα να ισχύει ΟΜ*ΟΝ=0 κ μετά από πράξεις βρίσκουμε χ=-2, άρα τα Μ,Ν είναι γνωστά κ βρίσκουμε τον μοναδικό κύκλο που διέρχεται από αυτά κ το Ο. (ποιος είναι ο κύκλος με το ελάχιστο εμβαδόν;;; Αφού από τρία σημεία περνάει μοναδικός κύκλος, έτσι;) Μάλλον δεν έχω πιάσει καλά την εκφώνηση της άσκησης...

Γεια σου Μάκη
Πιθανώς να έπρεπε να το διατυπώσω καλύτερα αλλά τα Μ , Ν είναι "τυχαία"(όχι ακριβώς, αφού γων ΜΟΝ ορθή) σημεία δύο ευθειών και επομένως δεν πρέπει να τους βάζεις ίδια τετμημένη που είναι ειδική περίπτωση.

Γιώργος

mathxl · #4

Mχμχμχμ..λοιπόν η άσκηση έχει ενδιαφέρον
αλλά είνα αρκετά μεγάλη...οπότε περιγραφικά έχουμε
α) εύκολα καταλήγουμε στις ευθείες χ+ψ=2,χ-ψ=-1
β)Προβάλουμε το Ο στις παραπάνω δύο ευθείες. Έστω Α η προβολή του στην ψ=χ+1 και Β η προβολή του στην ψ=-χ+2
Θεωρούμε δύο τυχαία σημεία Μ και Ν στις ευθείες ψ=χ+1 και ψ=-χ+2 αντίστοιχα διαφορετικά των Α,Β. Τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΟΝΒ είναι ορθογώνια οπότε οι υποτείνουσες είναι οι μεγαλύτερες πλευρές. Συνεπώς ΟΑ<ΟΜ και ΟΒ<ΟΝ, υψώνωντας τα μέλη στο τετράγωνο και προσθέτωντας τις προκύπτουσες κατά μέλη παίρνουμε ΑΒ<ΜΝ
γ) αυτό το έχω λύσει με αναλυτική γεωμετρία συντεταγμένες κτλ... και δεν μου άρεσε. Φαντάζομαι υπάρχει γεωμετρική αντιμετώπιση που δεν βλέπω για την ώρα

hsiodos · #5

Καλησπέρα
Σε γενικές γραμμές ο Βασίλης (Mathxl) έδωσε την λύση της άσκησης.
Γράφω λίγο πιο αναλυτικά.

α) Αξιοποιώντας ότι $w=-\bar{w}$ και έχοντας θέσει z =x+yi

καταλήγουμε (διατηρώντας ισοδυναμίες) στην σχέση $\displaystyle{x^2 - y^2 - x + 3y - 2 = 0}$ από όπου βρίσκουμε y= x+1 ή y = -x +2 . Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z είναι οι ευθείες $\displaystyle{ \varepsilon _1 :y = x + 1\,\,,\,\,\,\varepsilon _2 :y = - x + 2}$ , χωρίς το σημείο Ε(2,0) της $\varepsilon _2$ .
Έτσι για τους z που κινούνται στην $\varepsilon _1$ ισχύει $\displaystyle{{\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) - {\mathop{\rm Im}\nolimits} (z) = - 1\,\,\,\,(1)}$ ενώ για τους z που κινούνται στην $\varepsilon _2$ ισχύει $\displaystyle{ {\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) + {\mathop{\rm Im}\nolimits} (z) = \,\,2\,\,\,\,(2)}$
Οι $\varepsilon _1,\varepsilon _2$ παρατηρούμε ότι τέμνονται κάθετα.
β) α΄τρόπος

Ουσιαστικά ζητάμε την ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η διάμετρος ΜΝ . Είναι $\displaystyle{MN^2 = OM^2 + ON^2 \,(*)}$ με Μ σημείο της $\varepsilon _1$ και Ν σημείο της $\varepsilon _2$ . Το 2ο μέλος της (*) ελαχιστοποιείται όταν ΟΜ , ΟΝ λαμβάνουν ταυτόχρονα την ελάχιστη τιμή τους . Αυτό συμβαίνει όταν $\displaystyle{ M \equiv A}$ και $\displaystyle{N \equiv B}$ όπου $\displaystyle{OA \bot \varepsilon _1 }$ και $\displaystyle{O{\rm B} \bot \varepsilon _2 }$ .Βρίσκουμε κατά τα γνωστά ότι $\displaystyle{{\rm A}\left( { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm B}(1,1)}$ και επομένως ο ζητούμενος κύκλος C_1

έχει κέντρο το $\displaystyle{\Lambda \left( {\frac{1}{4},\frac{3}{4}} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha \kappa \tau \iota \nu \alpha \,\,\rho = \frac{{\sqrt {10} }}{4}}$

β΄τρόπος
Από το α) ερώτημα οι μιγαδικοί z που κινούνται στην $\varepsilon _1$ έχουν εικόνες Μ(α ,α+1) ενώ οι μιγαδικοί z που κινούνται στην $\varepsilon _2$ έχουν εικόνες Ν(β , -β+2) .
$\displaystyle{{\rm O}{\rm M} \bot {\rm O}{\rm N} \Rightarrow \mathop {{\rm O}{\rm M}}\limits^ \to \cdot \mathop {{\rm O}{\rm N}}\limits^ \to = 0 \Rightarrow .... \Rightarrow \beta = 2\alpha + 2}$

Έτσι είναι Μ(α ,α+1) και Ν(2α+2 , -2α) οπότε βρίσκουμε $\displaystyle{{\rm M}{\rm N} = \sqrt {(\alpha + 2)^2 + (3\alpha + 1)^2 } = .... = \sqrt {10\alpha ^2 + 10\alpha + 5} }$
Επομένως το ΜΝ λαμβάνει ελάχιστη τιμή όταν $\displaystyle{\alpha = - \frac{1}{2}}$ (θέση ελάχιστου τριωνύμου) και καταλήγουμε στα ίδια συμπεράσματα.

γ) Μια απόδειξη μπορεί να δοθεί με αναλυτική γεωμετρία(Βασίλης). Μια καθαρά γεωμετρική απόδειξη είναι

Φέρνουμε ΟΚ κάθετη στη ΜΝ.
Έστω Γ το σημείο τομής των $\varepsilon _1,\varepsilon _2$ . Το ΜΟΓΝ είναι εγγράψιμο(η ΜΝ φαίνεται υπό ορθή γωνία από τα Ο , Γ) οπότε $\hat{\Gamma _1}=\hat{M_1}$ αλλά $\hat{\Gamma _1}=\hat{A_2}$ και έτσι $\hat{A_2}=\hat{M_1}$
Από το εγγράψιμο ΚΑΟΜ προκύπτει ότι αναγκαστικά η γωνία $\hat{A_2}$ είναι εξωτερική της γωνίας ΚΑΟ οπότε Κ , Α , Β συνευθειακά.
σχόλιο 1
Μπορούμε ακόμη να δείξουμε ότι Κ , Α , Β συνευθειακά δείχνοντας ότι $\hat{A_1}+\hat{A_2}=90^o$
σχόλιο 2
Τα Α , Β, Κ είναι συνευθειακά αφού βρίσκοναι στην ευθεία του Simsom (του τριγώνου ΝΓΜ) αντίστοιχη στο Ο .

Γιώργος

: migad+geom.png (27.96 KiB) Προβλήθηκε 1266 φορές

Μιγαδικοί και γεωμετρία

Μιγαδικοί και γεωμετρία

Re: Μιγαδικοί και γεωμετρία

Re: Μιγαδικοί και γεωμετρία

Re: Μιγαδικοί και γεωμετρία

Re: Μιγαδικοί και γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση