Επαναληπτική

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Επαναληπτική

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από pana1333 » Δευ Απρ 15, 2013 4:15 am

Καλημέρα. Μια δική μου....πιστεύω απλή αλλά διδακτική για επανάληψη.....

Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με \left| z^{2}+w^{2}\right|=1.

Α) Να δείξετε ότι \left|\frac{z}{i} -w\right|=\frac{1}{\left|z+iw \right|}

Β) Αν επιπλέον \left|\frac{z}{i} -w\right|=\left| w-zi\right| να δείξετε ότι

i) z+iw=\frac{1}{\bar{z}-i\bar{w}}

ii) Να δείξετε ότι \left|-\bar{z} \right|+\left|w \right|\geq 1

iii) Να δείξετε ότι Im\left(z\bar{w} \right)\left\leq \left|z\bar{w} \right|


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1672
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Επαναληπτική

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από pito » Δευ Απρ 15, 2013 11:32 am

Καλημέρα Χρήστο, δίνω μια λύση:

α) Είναι \displaystyle |z^{2}+w^{2}|=|(z-iw)(z+iw)|=1\Leftrightarrow |z-iw||z+iw|=1\Leftrightarrow |i||\frac{z}{i}-w||z+iw|=1  (1), όμως και \displaystyle |z+wi|\neq 0 γιατί αν
|z+wi|=0, τότε και 0=1, άτοπο. Έτσι (1): \displaystyle |\frac{z}{i}-w|=\frac{1}{|z+iw|} (2)

β) Λόγω της (2) και της δοσμένης είναι \displaystyle |z-iw|=|w-zi|\Leftrightarrow (z-iw)(\bar{z}+i\bar{w})=(w-zi)(\bar{w}+i\bar{z})\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow z\bar{w}=w\bar{z}  (3)

Ακόμη \displaystyle |z^{2}+w^{2}|=1\Leftrightarrow (z^{2}+w^{2})(\bar{z}^{2}+\bar{w}^{2})=1\Leftrightarrow |z|^{4}+(z\bar{w}-w\bar{z})^{2}+2|z|^{2}|w|^{2}+|w|^{4}=1\Leftrightarrow (|z|^{2}+|w|^{2})^{2}=1\Leftrightarrow |z|^{2}+|w|^{2}=1  (4) (λόγω και της (3)).

Έτσι και \displaystyle |z+iw|^{2}=(z+iw)(\bar{z}-i\bar{w})=|z|^{2}+i(w\bar{z}-z\bar{w})+|w|^{2}=1 \Leftrightarrow, συνεπώς και \displaystyle z+iw=\frac{1}{\bar{z}-i\bar{w}}

γ) Είναι \displaystyle |-\bar{z}|+\+|w|=|z|+|iw|\geq |z+iw|\Leftrightarrow |-\bar{z}|+|w|\geq 1

δ) Από τη βασική ανισότητα \displaystyle Im(z)\leq |Im(z)|\leq |z| ( με απόδειξη: αν \displaystyle z=x+yi με x,y\in R είναι y\leq |y| που ισχύει και
|y|\leq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\Leftrightarrow y^{2}\leq x^{2}+y^{2}\Leftrightarrow x^{2}\geq 0, που ισχύει ) προκύπτει και το ζητούμενο.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από pana1333 » Τρί Απρ 16, 2013 12:18 am

Μυρτώ ευχαριστώ για την λύση σου. Δίνω τα β) (βi) και δ) (βiii) λίγο διαφορετικά

β) Είναι \frac{1}{\left|z+wi \right|}=\left|w-iz \right|\Leftrightarrow \left|w-iz \right|\left|z+wi \right|=1\Leftrightarrow \left|\bar{w} \right+i\bar{z}|\left|z+wi \right|=1\Leftrightarrow\left|i \right|\left|\bar{z}-\bar{wi} \right|\left|z+wi \right|=1\Leftrightarrow \left|\left|z+wi \right|^{2} \right|=1, άρα \left|z+wi \right|^{2}=1\Leftrightarrow z+wi=\frac{1}{\bar{z}-\bar{w}i}.

δ) Είναι \left( z+iw\right)\left(\bar{z}-i\bar{w} \right)=1\Leftrightarrow \left|z \right|^{2}+\left(z\bar{w}+w\bar{z} \right)i+\left|w \right|^{2}=1\Leftrightarrow\left|z \right|^{2}+2Im\left(z\bar{w} \right)+\left|w \right|^{2}=1\Leftrightarrow 2Im\left(z\bar{w} \right)=1-\left|z \right|^{2}-\left|w \right|^{2}

Επίσης υψώνουμε στο τετράγωνο την (βii) και έχουμε \left( \left|z \right|+\left|w \right|\right)^{2}\geq 1\Leftrightarrow \left|z \right|^{2}+2\left|z \right|\left|w \right|+\left|w \right|^{2}\geq 1\Leftrightarrow 2\left|z \right|\left|\bar{w} \right|\geq 1-\left|z \right|^{2}-\left|w \right|^{2}\Leftrightarrow 2\left|z\bar{w} \right|\geq 2Im\left(z\bar{w} \right)\Leftrightarrow Im\left(z\bar{w} \right)\leq \left|z\bar{w} \right|


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός

Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης