Επαναληπτικό Θέμα μιγαδικών αριθμών

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Επαναληπτικό Θέμα μιγαδικών αριθμών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από thanasis kopadis » Τετ Μάιος 22, 2013 12:47 pm

Η πρώτη μου προσπάθεια γραφής με Latex. Παρακαλώ να είστε επιεικείς μαζί μου.. :clap2:

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z_{1}, z_{2}, z_{3} με \left|z_{1} \right|=\left|z_{2} \right|=\left|z_{3} \right|=1.
α) Αν z_{1}^2+z_{2}^2+z_{3}^2 = 0 και z_{1}^3+z_{2}^3+z_{3}^3=0 , να αποδείξετε ότι \left|z_{1}+z_{2}+z_{3} \right|=\sqrt{3}
β) Aν z_{1}+z_{2}+z_{3}=z_{1}z_{2}z_{3}=1, να αποδείξετε ότι z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{1}z_{3}=1
γ) Αν z_{1}, z_{2}, z_{3} οι ρίζες της εξίσωσης z^{3}-z^{2}+z-1=0 , να αποδείξετε ότι z_{1}^{2012}+z_{2}^{2012}+z_{3}^{2012}=3
δ) Να αποδείξετε ότι ο w_{1}=\frac{(z_{1}+z_{2})(z_{2}+z_{3})(z_{3}+z_{1})}{z_{1}z_{2}z_{3}} είναι πραγματικός αριθμός
ε) Αν z_{1}+z_{2}+z_{3}=2i, να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού αριθμού w_{2}=\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}}
στ) Να αποδείξετε ότι \left|\frac{2}{z_{1}}+\frac{3}{z_{2}}+\frac{4}{z_{3}} \right|\leq 9
ζ) Αν ισχύει z_{1}+2z_{2}=3z_{3} να αποδείξετε ότι Re(z_{1}\bar{z_{2}})=Re(z_{2}\bar{z_{3}})=Re(z_{1}\bar{z_{3}})
η) Να αποδείξετε ότι
\left|z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{1}z_{3} \right|=\left|z_{1}+z_{2}+z_{3} \right|
θ) Αν οι z_{1}, z_{2}, z_{3} είναι ανά δύο διαφορετικοί μεταξύ τους και z_{1}+ z_{2}+ z_{3}=0 , να αποδείξετε ότι:
i) z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{1}z_{3}=0
ii) z_{1}^3=z_{2}^3=z_{3}^3
iii) oι εικόνες τωνz_{1}, z_{2}, z_{3} είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου
iv) οι εικόνες των z_{1}z_{2},z_{2}z_{3},z_{1}z_{3} είναι επίσης κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.

Φιλικά
τελευταία επεξεργασία από thanasis kopadis σε Πέμ Μάιος 23, 2013 8:08 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτικό Θέμα μιγαδικών αριθμών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από thanasis kopadis » Τετ Μάιος 22, 2013 11:22 pm

α) \left|z_{1} \right|=1\Leftrightarrow \left|z_{1} \right|^2=1\Leftrightarrow z_{1}\bar{z_{1}}=1\Leftrightarrow \bar{z_{1}}=\frac{1}{z_{1}}

Ομοίως \bar{z_{2}}=\frac{1}{z_{2}} και \bar{z_{3}}=\frac{1}{z_{3}}
\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}\right|^2=
(z_{1}+z_{2}+z_{3})(\bar{z_{1}}+\bar{z_{2}}+\bar{z}_{3})=
(z_{1}+z_{2}+z_{3})(\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}})=
3+\frac{z_{1}}{z_{2}}+\frac{z_{2}}{z_{1}}+\frac{z_{2}}{z_{3}}+\frac{z_{3}}{z_{2}}+\frac{z_{1}}{z_{3}}+\frac{z_{3}}{z_{1}}=
3+\frac{z_{1}^2+z_{2}^2}{z_{1}z_{2}}+\frac{z_{2}^2+z_{3}^2}{z_{2}z_{3}}+\frac{z_{1}^2+z_{3}^2}{z_{1}z_{3}}= 
3-\frac{z_{3}^2}{z_{1}z_{2}}-\frac{z_{1}^2}{z_{2}z_{3}}-\frac{z_{2}^2}{z_{1}z_{3}}=
3-\frac{z_{1}^3+z_{2}^3+z_{3}^3}{z_{1}z_{2}z_{3}}=3

Άρα \left|z_{1}+z_{2}+z_{3} \right|=\sqrt{3}

β) z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{1}z_{3}=
\frac{z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{1}z_{3}}{z_{1}z_{2}z_{3}}=
\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}}=
\bar{z_{1}}+\bar{z_{2}}+\bar{z_{3}}=1

γ) z^3-z^2+z-1=0\Leftrightarrow (z-1)(z^2+1)=0\Leftrightarrow z=1 ή z=\pm i
Επομένως z_{1}^{2012}+z_{2}^{2012}+z_{3}^{2012} = 1+1+1=3

δ)
\bar{w_{1}}=
\frac{(\bar{z_{1}}+\bar{z_{2}})(\bar{z_{2}}+\bar{z_{3}})(\bar{z_{3}}+\bar{z_{1}})}{\bar{z_{1}}\bar{z_{2}}\bar{z_{3}}}=
\frac{(\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}})(\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}})(\frac{1}{z_{3}}+\frac{1}{z_{1}})}{\frac{1}{z_{1}}\frac{1}{z_{2}}\frac{1}{z_{3}}}=
\frac{(z_{1}+z_{2})(z_{2}+z_{3})(z_{1}+z_{3})}{z_{1}z_{2}z_{3}}=w_{1}
Άρα ο w είναι πραγματικός αριθμός

ε) \left|w_{2} \right|=\left|\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}} \right|=\left|\bar{z_{1}}+\bar{z_{2}}+\bar{z_{3}} \right|=\left|z_{1}+z_{2}+z_{3} \right|=\left|2i \right|=2

στ)\left|\frac{2}{z_{1}}+\frac{3}{z_{2}}+\frac{4}{z_{3}} \right|\leq \left|\frac{2}{z_{1}} \right|+\left|\frac{3}{z_{2}} \right|+\left|\frac{4}{z_{3}} \right|=2+3+4=9

ζ)
z_{1}+2z_{2}=3z_{3}\Rightarrow \left|z_{1}+2z_{2} \right|=\left|3z_{3} \right|\Leftrightarrow\left
|z_{1}+2z_{2} \right|^2=\left|3z_{3} \right|^2
\Leftrightarrow (z_{1}+2z_{2})(\bar{z_{1}}+2\bar{z_{2}})=9\Leftrightarrow
 1+2z_{1}\bar{z_{2}}+2\bar{z_{1}}z_{2}+4=9\Leftrightarrow2z_{1}\bar{z_{2}}+2\bar{z_{1}}z_{2}=4\Leftrightarrow 
z_{1}\bar{z_{2}}+\bar{z_{1}}z_{2}=2\Leftrightarrow2Re(z_{1}\bar{z_{2}})=2\Leftrightarrow Re(z_{1}\bar{z_{2}})=1
Ομοίως Re(z_{2}\bar{z_{3}})=1 και Re(z_{1}\bar{z_{3}})=1

η)
\left|z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1} \right|=
\left|\bar{z_{1}}\bar{z_{2}}+\bar{z_{2}}\bar{z_{3}}+\bar{z_{3}}\bar{z_{1}} \right|=
\left|\frac{1}{z_{1}z_{2}}+\frac{1}{z_{2}z_{3}}+\frac{1}{z_{1}z_{3}} \right|=
\left|\frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{z_{1}z_{2}z_{3}} \right|=\frac{\left|z_{1}+z_{2}+z_{3} \right|}{\left|z_{1}z_{2}z_{3} \right|}=
\left|z_{1}+z_{2}+z_{3} \right|

θ) i)
z_{1}+z_{2}+z_{3}=0 \Leftrightarrow \bar{z_{1}}+\bar{z_{2}}+\bar{z_{3}}=0 \Leftrightarrow \frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}}=0 \Leftrightarrow \frac{z_{2}z_{3}+z_{1}z_{3}+z_{1}z_{2}}{z_{1}z_{2}z_{3}}=0\Leftrightarrow z_{2}z_{3}+z_{1}z_{3}+z_{1}z_{2}=0

ii)
z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1}=0 \Leftrightarrow z_{1}z_{2}+z_{2}(-z_{1}-z_{2})+(-z_{1}-z_{2})z_{1}=0 \Leftrightarrow  z_{1}z_{2}-z_{1}z_{2}-z_{2}^2-z_{1}z_{2}-z_{1}^2=0 \Leftrightarrow 
 z_{1}^2+z_{2}^2+z_{1}z_{2}=0 \Leftrightarrow (z_{1}-z_{2})(z_{1}^2+z_{2}^2+z_{1}z_{2})=0 \Leftrightarrow z_{1}^3-z_{2}^3=0 \Leftrightarrow  z_{1}^3=z_{2}^3
Ομοίως z_{2}^3=z_{3}^3 , άραz_{1}^3=z_{2}^3= z_{3}^3

iii) Αρκεί να δείξουμε ότι
\left|z_{1}-z_{2} \right|=\left|z_{2}-z_{3} \right|=\left|z_{1}-z_{3} \right|

Είναι
\left|z_{1}-z_{2} \right|=\left|z_{2}-z_{3} \right|\Leftrightarrow \left|z_{1}+z_{1}+z_{3} \right|=\left|-z_{1}-z_{3}-z_{3} \right|\Leftrightarrow 
\left|2z_{1}+z_{3} \right|=\left|z_{1}+2z_{3} \right|\Rightarrow \left|2z_{1}+z_{3} \right|^2=\left|z_{1}+2z_{3} \right|^2\Leftrightarrow 
(2z_{1}+z_{3})(2\bar{z_{1}}+\bar{z_{3}})=(z_{1}+2z_{3})(\bar{z_{1}}+2\bar{z_{3}})\Leftrightarrow 
4+2z_{1}\bar{z_{3}}+2z_{3}\bar{z_{1}}+1=1+2z_{1}\bar{z_{3}}+2z_{3}\bar{z_{1}}+4
ισχύει.

Ομοίως \left|z_{1}-z_{2} \right|=\left|z_{1}-z_{3} \right|

iv) Αρκεί
\left|z_{1}z_{2}-z_{1}z_{3} \right|=\left|z_{1}z_{2}-z_{2}z_{3} \right|=\left|z_{1}z_{3}-z_{2}z_{3} \right|\Leftrightarrow \left
|z_{1} \right|\left|z_{2}-z_{3} \right|=\left|z_{2} \right|\left|z_{1}-z_{3} \right|=\left|z_{3} \right|\left|z_{1}-z_{2} \right|\Leftrightarrow\left
|z_{2}-z_{3} \right|=\left|z_{1}-z_{3} \right|=\left|z_{1}-z_{2} \right|
ισχύει.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτικό Θέμα μιγαδικών αριθμών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από thanasis kopadis » Πέμ Μάιος 23, 2013 8:33 am

Έγινε μικρή αλλαγή στην υπόθεση του ερωτήματος ε), καθώς δε συμφωνούσε με τα αρχικά δεδομένα. Ευχαριστώ τον κο "nsmavrogiannis" για την υπόδειξή του.
Επίσης ευχαριστώ τον "parmenides51" για τα καλά του λόγια και τις συμβουλές του στη γραφή Latex.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτικό Θέμα μιγαδικών αριθμών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από thanasis kopadis » Παρ Μάιος 24, 2013 8:59 am

Για το α) ερώτημα δείτε εδώ: http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=37217&p=171931#p171931


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»

Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες