Μια ωραία άσκηση στους μιγαδικούς αριθμούς.

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Μια ωραία άσκηση στους μιγαδικούς αριθμούς.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από thanasis kopadis » Δευ Ιουν 10, 2013 9:32 am

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z_{1},z_{2},z_{3} με z_{1},z_{3}\neq 0 για τους οποίους ισχύει
\frac{z_{1}+2z_{2}}{3z_{3}}\epsilon R , \frac{2z_{3}+z_{2}}{3z_{1}}\epsilon R και ο \frac{z_{1}}{z_{3}} δεν είναι πραγματικός αριθμός. Να αποδείξετε ότι z_{1}+2z_{2}+4z_{3}=0


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9352
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μια ωραία άσκηση στους μιγαδικούς αριθμούς.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιουν 10, 2013 10:54 am

thanasis kopadis έγραψε:Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z_{1},z_{2},z_{3} με z_{1},z_{3}\neq 0 για τους οποίους ισχύει
\frac{z_{1}+2z_{2}}{3z_{3}}\epsilon R , \frac{2z_{3}+z_{2}}{3z_{1}}\epsilon R και ο \frac{z_{1}}{z_{3}} δεν είναι πραγματικός αριθμός. Να αποδείξετε ότι z_{1}+2z_{2}+4z_{3}=0


Εξ υποθέσεως υπάρχουν a, b \in \mathbb R με z_1+2z_2=az_3, \, 2z_3+z_2=bz_1 \, (*). Πολλαπλασιάζοντας την δεύτερη επί 2 και αφαιρώντας κατά μέλη έπεται (1+2b)z_1=(a+4)z_3. Συμπεραίνουμε 1+2b=0 (αλλιώς \frac {z_1}{z_3}= \frac {a+4}{1+2b}\in \mathbb R που αντιβαίνει στην υπόθεση). Η (*) τώρα γράφεται 4z_3+2z_2=2bz_1=-z_1, από όπου το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1461
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Μια ωραία άσκηση στους μιγαδικούς αριθμούς.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Christos.N » Δευ Ιουν 10, 2013 11:00 am

Πραγματικά έχει την πρωτοτυπία της...

Έστω
\displaystyle{
\begin{array}{l}
 \frac{{z_1  + 2z_2 }}{{3z_3 }} = a,a \in R \\ 
 \frac{{z_2  + 2z_3 }}{{3z_1 }} = b,b \in R \\ 
 \frac{{z_1 }}{{z_3 }} = w,w \in C-R \\ 
 \end{array}
}
τότε
\displaystyle{
\left\{ \begin{array}{l}
 z_1  + 2z_2  = a3z_3  \\ 
 z_2  + 2z_3  = b3z_1  \\ 
 z_1  = wz_3  \\ 
 \end{array} \right. \Rightarrow ..\alpha \pi \alpha \lambda o\iota \varphi \omega \nu \tau \alpha \varsigma .. \Rightarrow (6b + 1)w = 3a + 4
}

Η τελευταία εξίσωση δεν είναι αδύνατη γιατί έρχεται σε αντίφαση με τα δεδομένα, δεν έχει μοναδική λύση γιατί τότε \displaystyle{
w \in R
}
Άρα πρέπει να είναι αόριστη το οποίο συμβαίνει όταν:
\displaystyle{
b =  - \frac{1}{6},a =  - \frac{4}{3}
}
Με αντικατάσταση στις αρχικές ισότητες:
\displaystyle{
\left\{ \begin{array}{l}
 z_1  + 2z_2  = b3z_3  \\ 
 z_2  + 2z_3  = a3z_1  \\ 
 \end{array} \right. \Rightarrow z_1  + 2z_2  + 4z_3  = 0
}


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2054
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Μια ωραία άσκηση στους μιγαδικούς αριθμούς.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από R BORIS » Σάβ Ιουν 15, 2013 10:54 am

Η άσκηση νομίζω ότι έχει μια θαυμάσια! γεωμετρική λύση (πλήρες τετράπλευρο, Θ.Μενελάου) που θα γράψω αργότερα


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2054
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Μια ωραία άσκηση στους μιγαδικούς αριθμούς.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από R BORIS » Σάβ Ιουν 15, 2013 7:47 pm

είναι :\displaystyle{\frac{z_1+2z_2}{3z_3}=a\in R} τότε \displaystyle{z_1-az_3=2(az_3-z_2)} [1] και αντίστοιχα \displaystyle{2(z_3-bz_1)=bz_1-z_2} [2]

αν \displaystyle{A,B,C,D,E} εικόνες αντίστοιχα των \displaystyle{z_1,z_2,z_3,az_3,bz_1} τότε

1.\displaystyle{z_1/z_3\in C-R\Rightarrow} οι ευθείες \displaystyle{OA,OC} είναι διαφορετικές

2.\displaystyle{a\in R\Rightarrow O, C, D} συνευθειακά , \displaystyle{b\in R\Rightarrow O, A, E} συνευθειακά

3.\displaystyle{[3]\Rightarrow A, D, B} συνευθειακά και \displaystyle{AD=2DB}

4. Ομοίως από [2] έχουμε \displaystyle{C, E, B}συνευθειακά και \displaystyle{2CE=EB}

από το Θ.Μενελάου στο \displaystyle{EAB} με διατεμνουσα την \displaystyle{COD\Rightarrow \frac{OE}{OA}\frac{AD}{DB}\frac{CB}{CE}=1}

αντικαθιστωντας \displaystyle{|b|=1/2} με \displaystyle{b<0} αφού το Ο ανάμεσα στα Α,Ε επεται \displaystyle{b=-1/2} και από την [2] το ζητούμενο
Clipboard01.jpg
Clipboard01.jpg (7.54 KiB) Προβλήθηκε 666 φορές


Υ.Γ
Θεώρησα τα A,B,C σε γενική θέση δηλαδή να σχηματίζουν τρίγωνο. Α μετατρέψουμε τις σχέσεις [1],[2] σε διανυσματικές φαίνεται καθαρά γιατί τα D,E βρίσκονται πάνω στις πλευρές και όχι στις προεκτάσεις τους



Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης