Γεωμετρική ερμηνεία μιας σχέσης μεταξύ μιγαδικών

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Γεωμετρική ερμηνεία μιας σχέσης μεταξύ μιγαδικών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από thanasis kopadis » Τετ Ιουν 19, 2013 1:42 pm

Πολλά από τα θεωρήματα της επιπέδου γεωμετρίας μπορούν να αποδειχθούν με αλγεβρικές πράξεις και χρησιμοποιώντας γεωμετρικές ερμηνείες ισοτήτων μεταξύ μιγαδικών αριθμών. Ένα παράδειγμα είναι το παρακάτω:

Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z_{1}, z_{2} , z_{3} , z_{4} για τους οποίους ισχύει η σχέση: z_{1}-z_{2}+z_{3}-z_{4}=0 (1).
Αφού δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αυτών σχηματίζουν παραλληλόγραμμο, στη συνέχεια, και με τη βοήθεια της (1) , να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται, καθώς επίσης και ότι το σημείο τομής των διαγωνίων διχοτομεί και τα ευθύγραμμα τμήματα τα οποία ενώνουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του παραλληλογράμμου.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1198
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Γεωμετρική ερμηνεία μιας σχέσης μεταξύ μιγαδικών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από exdx » Τετ Ιουν 19, 2013 3:57 pm

Έστω επιπλέον ότι οι μιγαδικοί αριθμοί z_{1}, z_{2} , z_{3} , z_{4} για τους οποίους ισχύει η σχέση: z_{1}-z_{2}+z_{3}-z_{4}=0 (1) , είναι διαφορετικοί ανά δύο .

Έστω \displaystyle{\,\,{\rm A}\,\,,\,{\rm B}\,,\,\Gamma ,\Delta \,\,\,\,\,} , οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο .Τότε από τη δοσμένη έχουμε :
\displaystyle{\begin{array}{l}
 {z_1} - {z_2} + {z_3} - {z_4} = 0 \Rightarrow \,\,\,|{z_1} - {z_2}|\,\,\, = \,\,|{z_4} - {z_3}| \\ 
 {z_1} - {z_2} + {z_3} - {z_4} = 0 \Rightarrow \,\,\,|{z_1} - {z_4}| = |{z_2} - {z_3}|\,\, \\ 
 \end{array}}
Αυτό σημαίνει ότι \displaystyle{\,\,\,{\rm A}{\rm B} = \Gamma \Delta \,\,\,,{\rm A}\Delta  = {\rm B}\Gamma \,\,\,} οπότε το \displaystyle{\,\,\,\,\,{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta \,\,\,} είναι παραλληλόγραμμο

Το μέσον του \displaystyle{\,\,{\rm A}\Gamma \,\,} έχει διανυσματική ακτίνα \displaystyle{\,\,\,\frac{{\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}}  + \overrightarrow {{\rm O}\Gamma } }}{2}\,\,\,} ,που αντιπροσωπεύει το \displaystyle{\,\,\,\frac{{{z_1} + {z_3}}}{2}\,\,\,} ενώ το μέσον του \displaystyle{\,\,\,{\rm B}\Delta \,\,\,} έχει διανυσματική ακτίνα \displaystyle{\,\,\,\frac{{\overrightarrow {{\rm O}{\rm B}}  + \overrightarrow {{\rm O}\Delta } }}{2}\,\,\,} που αντιπροσωπεύει το \displaystyle{\,\,\,\,\,\frac{{{z_2} + {z_4}}}{2}\,\,\,} .
Από τη δοσμένη έχουμε ότι \displaystyle{\,\,\,\,\,{z_1} + {z_3} = {z_2} + {z_4}\,} επομένως τα μέσα ταυτίζονται , οπότε οι διαγώνιες διχοτομούνται .

Επίσης τα μέσα των απέναντι πλευρών είναι τα \displaystyle{\,\,E\,,Z\,,\,H\,,\,\Theta \,\,} των οποίων οι διανυσματικές ακτίνες αντιπροσωπεύονται από τα
\displaystyle{\,\,\,\,\,\frac{{{z_2} + {z_2}}}{2}\,\,\,,\,\,\,\,\frac{{{z_2} + {z_3}}}{2}\,\,,\,\,\,\,\frac{{{z_3} + {z_4}}}{2}\,\,,\,\,\,\,\frac{{{z_4} + {z_1}}}{2}\,\,\,\,\,}
Τα μέσα των τμημάτων \displaystyle{\,\,\,{\rm E}{\rm H}\,\,\,,\,\,{\rm Z}\Theta \,\,} έχουν διανυσματικές ακτίνες που αντιπροσωπεύονται αντίστοιχα από τα
\displaystyle{\,\,\frac{{\frac{{{z_2} + {z_2}}}{2} + \frac{{{z_3} + {z_4}}}{2}}}{2} = \frac{{\,{z_1} + {z_3} + {z_2} + {z_4}}}{4}\,\,\,,\,\,\,\,\,\frac{{\frac{{{z_3} + {z_2}}}{2} + \frac{{{z_1} + {z_4}}}{2}}}{2} = \frac{{\,{z_1} + {z_3} + {z_2} + {z_4}}}{4}\,}
επομένως συμπίπτουν μεταξύ τους κι αφού το μέσον του \displaystyle{\,\,\,{\rm A}\Gamma \,\,} έχει διανυσματική ακτίνα που αντιπροσωπεύεται από το
\displaystyle{\,\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2} = \frac{{\,{z_1} + {z_3} + {z_2} + {z_4}}}{4}\,\,\,}
έχουμε ότι τα δύο μέσα συμπίπτουν .


Kαλαθάκης Γιώργης

Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης