Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από thanasis kopadis » Πέμ Ιουν 20, 2013 5:54 pm

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει \left|\frac{1-z}{1+z} \right|=\lambda , για όλες τις τιμές του \lambda >0.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2771
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Ιουν 20, 2013 7:13 pm

Καταρχήν για ευκολία στη γραφή χρησιμοποιώ \lambda = m>0 .

Για z=x+yi,x,y \in \mathbb{R} και με z \neq -1 \Leftrightarrow (x,y) \neq (-1,0),

η δοσμένη σχέση ισοδύναμα γίνεται:

\displaystyle{|1-z|=m|1+z| \Leftrightarrow (1-z)(1-\bar{z})=m^2(1+z)(1+\bar{z}) \Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow (m^2+1)(z+\bar{z})+(m^2-1)(1+|z|^2)=0 \Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow 2x(m^2+1)+(m^2-1)(1+x^2+y^2)=0 \Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow (m^2-1)x^2+(m^2-1)y^2+2(m^2+1)x+(m^2-1)=0 (I)}.

* Αν m\neq 1 έχουμε:
\displaystyle{x^2+y^2+2\frac{m^2+1}{m^2-1}x+1=0 (II)}.

Τότε:\displaystyle{A^2+B^2-4C=\left(2\frac{m^2+1}{m^2-1}\right)^2-4=16\frac{m^2}{(m^2-1)^2}>0},

οπότε είναι κύκλος.

*Αν m=1 η (I) δίνει: \displaystyle{x=0}, δηλαδή είναι ο άξονας y'y.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1345
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από BAGGP93 » Πέμ Ιουν 20, 2013 7:17 pm

Καλησπέρα.

Θα πρέπει \displaystyle{z\neq -1+0\,i}

Για \displaystyle{\lambda>0} είναι,

\displaystyle{\begin{aligned}\left|\frac{1-z}{1+z}\right|=\lambda&\Leftrightarrow \left|1-z\right|=\lambda\left|1+z\right|\\&\Leftrightarrow \left|1-z\right|^2=\lambda^2\left|1+z\right|^2\\&\Leftrightarrow (1-z)(1-\bar{z})=\lambda^2(1+z)(1+\bar{z})\\&\Leftrightarrow 1-\bar{z}-z+\left|z\right|^2=\lambda^2+\lambda^2\,\bar{z}+\lambda^2\,z+\lambda^2\,\left|z\right|^2\\&\Leftrightarrow \left(\lambda^2-1\right)\left|z\right|^2+\left(\lambda^2+1\right)\left(z+\bar{z}\right)+\left(\lambda^2-1\right)=0\\&\Leftrightarrow \left(\lambda^2-1\right)\left|z\right|^2+2\left(\lambda^2+1\right)Re(z)+\left(\lambda^2-1\right)=0\,(I)\end{aligned}}

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις για το \displaystyle{\lambda}

1)\displaystyle{\lambda=1}

Τότε, η \displaystyle{(I)} δίνει \displaystyle{4Re(z)=0\Rightarrow Re(z)=0\Rightarrow z\in Im}

2)\displaystyle{\lambda\in\left(0,1\right)\cup\left(1,+\infty\right)}

Θέτουμε \displaystyle{z=x+y\,i\,\,,x,y\in\mathbb{R}}

Αντικαθιστώντας στην \displaystyle{(I)} βρίσκουμε

\displaystyle{\begin{aligned} \left(\lambda^2-1\right)(x^2+y^2)+2\left(\lambda^2+1\right)\,x+\left(\lambda^2-1\right)=0&\Leftrightarrow (x^2+y^2)+\frac{2(\lambda^2+1)}{\lambda^2-1}\,x+1=0\\&\Leftrightarrow \left(x+\frac{\lambda^2+1}{\lambda^2-1}\right)^2+y^2=-1+\frac{\left(\lambda^2+1\right)^2}{\left(\lambda^2-1\right)^2}\\&\Leftrightarrow \left(x+\frac{\lambda^2+1}{\lambda^2-1}\right)^2+y^2=\frac{4\lambda^2}{\left(\lambda^2-1\right)^2}\end{aligned}}

Η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο κέντρου \displaystyle{K\left(-\frac{\lambda^2+1}{\lambda^2-1},0\right)} και ακτίνας \displaystyle{r=\frac{2\lambda}{\left|\lambda^2-1\right|}
τελευταία επεξεργασία από BAGGP93 σε Πέμ Ιουν 20, 2013 11:26 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
Σ. Διονύσης
Δημοσιεύσεις: 190
Εγγραφή: Τρί Φεβ 19, 2013 5:17 pm
Τοποθεσία: Milky Way,Orion Arm, Solar System, 3rd Planet(Earth)

Re: Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Σ. Διονύσης » Πέμ Ιουν 20, 2013 7:23 pm

Δε θα πρέπει και z\neq 1 ?


My System:
Case:CoolerMaster HAF-X
CPU:i7-2600k @5.0GHz @1.43v
RAM:Corsair Dominator GT 32GB 2133MHz
GPU:ATI RADEON HD6990 4GB @950MHz @1450MHz
Mobo:GIGABYTE Z68X-UD7-B3
SSD:Corsair Force GS 240GB
HDD:WD Caviar Black 2TB
CPU cooler:CoolerMaster V10
Headphones:V-moda M100
Audio interface:RME Babyface
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2771
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Ιουν 20, 2013 7:30 pm

Σ. Διονύσης έγραψε:Δε θα πρέπει και z\neq 1 ?


Αυτό δεν είναι απαίτηση για τη λύση, αφού με τις ισοδυναμίες και τις λύσεις δεν έχουμε θέμα.

Εξάλλου, ο συγκεκριμένος μιγαδικός δεν έχει εικόνα στον γεωμετρικό τόπο.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από thanasis kopadis » Πέμ Ιουν 20, 2013 7:35 pm

Συνάδελφοι , ευχαριστώ πολύ. Μόλις κατάφερα κι εγώ να την ολοκληρώσω (θέλω προπόνηση στο Latex). :)
Και για να δώσω και την πηγή της άσκησης είναι από το βιβλίο του αείμνηστου Ν. Αρτεμιάδη, "Μιγαδική Ανάλυση".


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
Σ. Διονύσης
Δημοσιεύσεις: 190
Εγγραφή: Τρί Φεβ 19, 2013 5:17 pm
Τοποθεσία: Milky Way,Orion Arm, Solar System, 3rd Planet(Earth)

Re: Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Σ. Διονύσης » Πέμ Ιουν 20, 2013 7:37 pm

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:Δε θα πρέπει και z\neq 1 ?


Αυτό δεν είναι απαίτηση για τη λύση, αφού με τις ισοδυναμίες και τις λύσεις δεν έχουμε θέμα.

Εξάλλου, ο συγκεκριμένος μιγαδικός δεν έχει εικόνα στον γεωμετρικό τόπο.


Kατάλαβα.Αλλά θα μπορούσε να δημιουργηθεί πρόβλημα σε άλλη άσκηση;


My System:
Case:CoolerMaster HAF-X
CPU:i7-2600k @5.0GHz @1.43v
RAM:Corsair Dominator GT 32GB 2133MHz
GPU:ATI RADEON HD6990 4GB @950MHz @1450MHz
Mobo:GIGABYTE Z68X-UD7-B3
SSD:Corsair Force GS 240GB
HDD:WD Caviar Black 2TB
CPU cooler:CoolerMaster V10
Headphones:V-moda M100
Audio interface:RME Babyface
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από thanasis kopadis » Πέμ Ιουν 20, 2013 7:48 pm

Αγαπητέ Σ. Διονύση. Σκέψου ότι έχουμε να λύσουμε μια κλασματική ανίσωση, για παράδειγμα μεγαλύτερη του μηδενός. Αποκλείεται ο αριθμητής να είναι μηδέν. Όμως δεν το παίρνουμε στους περιορισμούς μας, αφού δεν πρόκειται να το γράψουμε έτσι κι αλλιώς στις λύσεις της ανίσωσης. Δεν ξέρω αν το παράδειγμα που σου έδωσα είναι εύστοχο, άλλα όπως το αντιλαμβάνομαι κάτι τέτοιο συμβαίνει και εδώ.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
kostas_zervos
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από kostas_zervos » Πέμ Ιουν 20, 2013 7:56 pm

Για την ιστορία να σημειώσουμε το εξής:
ask63.png
ask63.png (10.86 KiB) Προβλήθηκε 642 φορές

Αν A(1,0)\;,\;B(-1,0) και M η εικόνα του z , τότε \displaystyle \left|\frac{z-1}{z+1}\right|=\lambda\iff \frac{MA}{MB}=\lambda.

Αν \lambda\neq 1 , τότε ο γεωμετρικός τόπος του M είναι ο Απολλώνιος κύκλος , δηλαδή ο κύκλος που έχει διάμετρο το DE , όπου τα D\;,\;E ανήκουν στην ευθεία AB και ισχύει ότι \displaystyle \frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EB}=\lambda (είναι δηλαδή συζυγή αρμονικά των A\;,\;B).

Στο παραπάνω σχήμα οι MD\;,\;ME είναι αντίστοιχα εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος στο \overset{\triangle}{MAB}.

Αν \lambda= 1 , τότε MA=MB , άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος του AB.


Κώστας Ζερβός

Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης