Πρωτότυπο Θέμα Μιγαδικών

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Πρωτότυπο Θέμα Μιγαδικών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από thanasis kopadis » Τετ Ιουν 26, 2013 7:37 pm

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,w για τους οποίους ισχύει ότι:
5z^6+4\bar{z}^6=9 και \frac{1}{w-1}+\frac{1}{w-2}+\frac{1}{w-3}+\frac{1}{w-4}+\frac{1}{w-5}=1.
α) Να αποδείξετε ότι \bar{z}=\frac{1}{z} και \bar{w}=w
β) Αν \left|z-wi \right|=\left|z-(1-w)i \right|, να βρείτε τον μιγαδικό z
γ) Να λύσετε την εξίσωση z^9\bar{z}^5=1
δ) Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού αριθμού u=\frac{w\left|z \right|^2+3zi}{wzi+3}


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
gradion
Δημοσιεύσεις: 109
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 03, 2011 8:20 pm

Re: Πρωτότυπο Θέμα Μιγαδικών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από gradion » Τετ Ιουν 26, 2013 11:13 pm

1) παίρνω συζυγείς στις δύο σχέσεις και αφαιρώ τις αντίστοιχες οπότε εύκολα

βρίσκω (\bar{z})^{^6}=z^{6}\Rightarrow 9z^{6}=9(\bar{z})^{6}=9\Rightarrow απο την σχέση που δίνεται

z^{6}=1, (\bar{z})^{6}=1\Rightarrow |z|=1,\bar{z}=1/z

και (\bar{w}-w)(\cfrac{1}{|w-1|^{2}}+\cfrac{1}{|w-2|^{2}}+...)=0\Rightarrow \bar{w}=w,w\in \mathbb R

2)αφού w=k\in \mathbb R \Rightarrow |z-ki|=|z-((1-k)i|\Rightarrow z=x+yi, ....(2y-1)(2k-1)=0\Rightarrow

y=1/2, γιατί k\neq 1/2

και αυτη η παρ'αλληλη τέμνει τον μοναδιαίο κύκλο στα A( \cfrac{\sqrt{3}}{2},1/2),B(-\cfrac{\sqrt{3}}{2}},1/2)Z

3) απο την 1) z^{9}(1/z)^{5}=1\Rightarrow z^{4}=1\Rightarrow z =\pm 1,z=\pm i
τελευταία επεξεργασία από gradion σε Τετ Ιουν 26, 2013 11:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


gradion
Δημοσιεύσεις: 109
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 03, 2011 8:20 pm

Re: Πρωτότυπο Θέμα Μιγαδικών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από gradion » Τετ Ιουν 26, 2013 11:28 pm

4) \bar{u}=\cfrac{k-3(\bar{z})i}{-k(\bar{z})i+3}=\cfrac{k-3i/z}{-ki/z+3}=

=\cfrac{kz-3i}{-ki+3z}=\cfrac{kz-3i}{-i(k+3z/(-i)}=\cfrac{kz-3i}{-i(k+3zi)}=

=\cfrac{-i(kzi+3)}{-i(k+3zi)}=\cfrac{1}{u}\Rightarrow \bar{u}=1/u, u(\bar{u})=1, |u|=1



Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης