Μιγαδικοί 20

mathxl · #1

20. Ας είναι $z \in {C^ * }$ τέτοιος ώστε $\left| {{z^3} + \frac{1}{{{z^3}}}} \right| \le 2$ . Να αποδείξετε ότι : $\left| {z + \frac{1}{z}} \right| \le 2$ .

..και αυτή κάτι μου θυμίζει! Αυτά!!

#2

Έστω $\left|z+\dfrac{1}{z}\right|>2 \ \ (1)$ . Τότε:
$\begin{aligned}\left|z^3+\dfrac{1}{z^3}\right| \leq 2 &\Leftrightarrow \left|\left(z+\dfrac{1}{z}\right)\left(z^2+\dfrac{1}{z^2}-1\right)\right|\leq 2 \\ &\Leftrightarrow \left|z^2+\dfrac{1}{z^2}-1\right|\leq \dfrac{2}{\left|z+\dfrac{1}{z}\right|} \stackrel{(1)}{<} 1\end{aligned}$

Από την άλλη $\left|z^2+\dfrac{1}{z^2}-1\right|=\left|\left(z+\dfrac{1}{z}\right)^2-3\right| \geq \left|\left|z+\dfrac{1}{z}\right|^2-3\right|\geq \left|z+\dfrac{1}{z}\right|^2-3 \stackrel{(1)}{>} 4-3=1$ , άτοπο.

Άρα $\left|z+\dfrac{1}{z}\right| \leq 2$ .

Αλέξανδρος

BAGGP93 · #3

Καλησπέρα, ένας ακόμη τρόπος είναι ο ακόλουθος.

$\displaystyle{\begin{aligned}\left|z+\frac{1}{z}\right|^3&=\left|\left(z+\frac{1}{z}\right)^3\right|\\&=\left|\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)+3z^2\,\frac{1}{z}+3z\,\frac{1}{z^2}\right|\\&=\left|\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)+3\left(z+\frac{1}{z}\right)\right|\\&\leq \left|z^3+\frac{1}{z^3}\right|+3\left|z+\frac{1}{z}\right|\\&\leq 2+3\left|z+\frac{1}{z}\right|\end{aligned}}$

Θέτουμε $\displaystyle{x=\left|z+\frac{1}{z}\right|\geq 0}$ .

Τότε, από την τελυταία σχέση προκύπτει ότι

$\displaystyle{\begin{aligned}x^3\leq 2+3x&\Leftrightarrow x^3-3x-2\leq 0\\&\Leftrightarrow \left(x^3-8\right)-3\left(x-2\right)\leq 0\\&\Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)-3\left(x-2\right)\leq 0\\&\Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x^2+2x+4-3\right)\leq 0\\&\Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x^2+2x+1\right)\leq 0\\&\Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x+1\right)^2\leq 0\\&\Leftrightarrow x\leq 2\\&\Leftrightarrow \left|z+\frac{1}{z}\right|\leq 2\end{aligned}}$

parmenides51 · #4

εδώ

Μιγαδικοί 20

Μιγαδικοί 20

Re: Μιγαδικοί 20

Re: Μιγαδικοί 20

Re: Μιγαδικοί 20

Μέλη σε σύνδεση