Μιγαδικοί 31

mathxl · #1

31.. Θεωρούμε τους μιγαδικούς $\displaystyle{{z_1},{\rm{ }}{z_2}}$ με ίσα μέτρα και τον πραγματικό αριθμό $\displaystyle{\alpha > 1}$ . Αποδείξτε ότι: $\left( {a + 1} \right)\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le 2\left| {a{z_1} + {z_2}} \right|$ .

[G.M. 3/2011]

#2

...να προλάβουμε και εμείς κανένα θέμα...

Είναι $(\alpha +1)\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| \alpha {{z}_{1}}+\alpha {{z}_{2}}+{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| \alpha {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|+\left| \alpha {{z}_{2}}+{{z}_{1}} \right|$ (1)

και επειδή $\left| \alpha {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| \alpha {{z}_{2}}+{{z}_{1}} \right|$ αφού υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε

$\left( \alpha {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\left( \alpha {{{\bar{z}}}_{1}}+{{{\bar{z}}}_{2}} \right)=\left( \alpha {{z}_{2}}+{{z}_{1}} \right)\left( \alpha {{{\bar{z}}}_{2}}+{{{\bar{z}}}_{1}} \right)$

${{\alpha }^{2}}{{z}_{1}}{{\bar{z}}_{1}}+\alpha {{z}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}+\alpha {{\bar{z}}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{2}}={{\alpha }^{2}}{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{2}}+\alpha {{z}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}+\alpha {{\bar{z}}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{1}}{{\bar{z}}_{1}}$

που ισχύει σαν ισότητα λόγω και του ότι $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$ από την(1) έχουμε ότι

$(\alpha +1)\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| \alpha {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|+\left| \alpha {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2\left| \alpha {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$ που είναι και το ζητούμενο

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Μιγαδικοί 31

Μιγαδικοί 31

Re: Μιγαδικοί 31

Μέλη σε σύνδεση