Μιγαδικοί 33

mathxl · #1

33. Θεωρούμε όλους τους μιγαδικούς

που ικανοποιούν την σχέση $\displaystyle{\left| {{\rm{ }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}i} \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}2.}$ Βρείτε τους μιγαδικούς

για τους οποίους η παράσταση $\displaystyle{\left| {z{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}5i} \right|}$ παίρνει ελάχιστη και μέγιστη τιμή.

[G.M. 6/2011]

BAGGP93 · #2

Καλησπέρα.

Είναι,

$\displaystyle{\left|z-2+5i\right|=\left|\left(z+1+i\right)+\left(-3+4i\right)\right|}$

Επομένως, από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ότι

$\displaystyle{(KC)-r=3=\left|\left|z+1+i\right|-\left|-3+4i\right|\right|\leq \left|z-2+5i\right|\leq \left|z+1+i\right|+\left|-3+4i\right|=(KC)+r=7$

όπου $\displaystyle{C(2.-5)}$ είναι η εικόνα του μιγαδικού $\displaystyle{2-5i}$ και $\displaystyle{r=2}$ η ακτίνα του κύκλου

με κέντρο $\displaystyle{K\left(-1,-1\right)}$ στον οποίο ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{z:\left|z+1+i\right|=2}$

Συνεπώς, οι ζητούμενοι μιγαδικοί προκύπτουν από το σύστημα των εξισώσεων του παραπάνω κύκλου και της ευθείας που ορίζουν τα σημεία $\displaystyle{K\,,C}$

Η ευθεία αυτή έχει συντελεστή διεύθυνσης, $\displaystyle{\lambda=\frac{y_{K}-y_{C}}{x_{K}-x_{C}}=\frac{-1+5}{-1-2}=-\frac{4}{3}}$ .

Επειδή διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{K\left(-1,-1\right)}$ , η εξίσωση της δίνεται από την

$\displaystyle{y+1=-\frac{4}{3}\left(x+1\right)\Leftrightarrow y=-\frac{4}{3}\,x-\frac{7}{3}}$ και άρα το παραπάνω σύστημα είναι το

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\\ y=-\frac{4}{3}\,x-\frac{7}{3} \end{matrix}}$

Με τη βοήθεια της δεύτερης, η πρώτη εξίσωση δίνει,

$\displaystyle{\begin{aligned} \left(x+1\right)^2+\left(\frac{4}{3}\,x+\frac{4}{3}\right)^2=4&\Leftrightarrow x^2+2x+1+\frac{16}{9}x^2+\frac{32}{9}\,x+\frac{16}{9}=4\\&\Leftrightarrow \frac{25}{9}\,x^2+\frac{50}{9}\,x=4-1-\frac{16}{9}\\&\Leftrightarrow \left[\frac{5}{3}\,x+\frac{5}{3}\right]^2=3-\frac{16}{9}+\frac{25}{9}=4\\&\Leftrightarrow \frac{5}{3}\,x+\frac{5}{3}=2\ \lor \frac{5}{3}\,x+\frac{5}{3}=-2\\&\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}\ \lor x=-\frac{11}{5}\end{aligned}}$

Συνεπώς, οι ζητούμενοι μιγαδικοί είναι οι

$\displaystyle{z_{A}=\frac{1}{5}-\frac{39}{15}\,i\,\,\,,z_{B}=-\frac{11}{5}+\frac{3}{5}\,i}$ , όπου $\displaystyle{A}$ η εικόνα του μιγαδικού

που ελαχιστοποιείται η παράσταση $\displaystyle{\left|z-2+5i\right|}$ και $\displaystyle{B}$ η εικόνα του μιγαδικού που μεγιστοποιείται

η παράσταση $\displaystyle{\left|z-2+5i\right|}$ .

Έχω μια μικρή επιφύλαξη όσον αφορά στις πράξεις.

parmenides51 · #3

είναι το πλέον κλασικό ερώτημα στους γεωμετρικούς τόπους μιγαδικών

για την ποικιλία των αντιμετωπίσεων μερικές παρόμοιες : εδώ, εδώ, εδώ, εδώ

με την ευκαιρία ας προσθέσω πως πρέπει να τονιστεί στους μαθητές πως και για την περίπτωση που ζητούσε ακρότατα είμαστε υποχρεωμένοι είτε να βρούμε τους μιγαδικούς εκείνους για τους οποίους παρουσιάζει τα ακρότατα είτε να αποδείξουμε την ύπαρξη τους (πχ. γεωμετρικά ως σημεία τομής κύκλου και τέμνουσας του), το ανέφερα πάλι εδώ

mathxl · #4

Μπορεί κάποιο μέλος να προσθέσει και ένα σχήμα με τα σημεία , ευθεία και κύκλο;

parmenides51 · #5

: 33.png (21.33 KiB) Προβλήθηκε 375 φορές

το έκανα bold για να είναι εκτυπώσιμο, ανέβασα και το geogebra καλού κακού

mathxl · #6

Θενξ

για τα σχήματα (και στην 39) .

Μιγαδικοί 33

Μιγαδικοί 33

Re: Μιγαδικοί 33

Re: Μιγαδικοί 33

Re: Μιγαδικοί 33

Re: Μιγαδικοί 33

Re: Μιγαδικοί 33

Μέλη σε σύνδεση