Μιγαδικοί 34

mathxl · #1

34. Βρείτε όλες τις τριάδες μιγαδικών $\displaystyle{\left( {a{\rm{ }},{\rm{ }}b{\rm{ }},{\rm{ }}c} \right)}$ που ικανοποιούν τις σχέσεις $\displaystyle{\left| a \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| b \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| c \right|}$ και $\displaystyle\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = 1$ . [Διαγωνισμός «Argument» Baia Mare, Romania 6/11/2010]

#2

$\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}=\dfrac{\bar{a}}{\bar{b}}+\dfrac{\bar{b}}{\bar{c}}+\dfrac{\bar{c}}{\bar{a}}=1$

Άρα

a^2b+b^2c+c^2a=a^2c+b^2a+c^2b=abc

οπότε

$\left(a-b \right)\left(b-c \right)\left(c-a \right)=\left( a^2c+b^2a+c^2b\right)-\left( a^2b+b^2c+c^2a\right)=0$

Επομένως δύο από τους a,b,c

είναι ίσοι. Αν π.χ. b=c

τότε $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=0$ οπότε $b=\pm ai.$

Οι ζητούμενες τριάδες είναι της μορφής $\left(a,ai,ai \right),\left(a,-ai,-ai \right),a\in\mathbb{C}$ καθώς και οι μεταθέσεις τους.

#3

Ορίζουμε $z_1=\dfrac{a}{b}, \ z_2=\dfrac{b}{c}, \ z_3=\dfrac{c}{a}$ όπου $z_1z_2z_3=1 \ \ (1)$ .

Τότε οι δοσμένες γίνονται |z_1|=|z_2|=|z_3|=1

και $z_1+z_2+z_3=1 \ \ (2)$ .

Από την (2)

παίρνουμε $\overline{z_1}+\overline|z_2|+\overline{z_3}=1$ δηλαδή $\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_2}+\dfrac{1}{z_3}=1$ δηλαδή $z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=1 \ \ (3)$ .

Από τις (1), (2), (3)

οι

είναι ρίζες της εξίσωσης t^3-t^2+t-1=0

της οποίας οι ρίζες είναι οι 1, i, -i

.

Άρα πάντα δύο από τους a,b,c

είναι ίσοι. Τότε προκύπτουν οι λύσεις (a,b,c)=(z,z,zi), (z,zi,z), (zi,z,z)

για τυχαίο μη μηδενικό μιγαδικό αριθμό

.

Αλέξανδρος

Μιγαδικοί 34

Μιγαδικοί 34

Re: Μιγαδικοί 34

Re: Μιγαδικοί 34

Μέλη σε σύνδεση