Μιγαδικοί 48

mathxl · #1

48. Έστω $w \in C$ , μη πραγματική ρίζα της εξίσωσης ${x^3} = 1$ . Να αποδείξετε ότι για κάθε $z \in C$ ισχύει: $\displaystyle{{\left| {z - 1} \right|^2} + {\left| {z - w} \right|^2} + {\left| {z - {w^2}} \right|^2} = 3\left( {1 + {{\left| z \right|}^2}} \right)}$
.

dennys · #2

Οι μιγαδικές κυβικές ρίζες της μονάδος είναι $w_1=-1/2+(\sqrt{3}/2)i, w_2=\bar {w_1}=-1/2-(\sqrt{3}/2)i$

κάνοντας πράξεις στο 1 μέλος ,έχουμε $:(z-1)(\bar {z}-1)+(z-w_1)(\bar {z}-\bar w_1})+(z-w_1^{2})(\bar {z}- \bar {w_1}^{2})=$

$z\bar {z}-z-\bar {z}+1+z\bar {z}-z\bar {w_1}-\bar {z}w_1+w_1\bar {w_1}+z\bar {z}-z\bar{w_1}^{2}-\bar {z}w_1^{2}+w_1^{2}\bar {w_1}^{2}=$

$3|z|^{2}+3-z(1+w_1+w_1^{2})-\bar {z}(1+\bar {w_1}+\bar {w_1}^{2})=3(|z|^{2}+1)+0+0$

γιατί $1+w_i+w_i^{2}=0$

dennys

mathxl · #3

Θενξ Διονύση. Να μου θυμίσεις όταν βρεθούμε να με κεράσεις καφέ!

#4

mathxl έγραψε:48. Έστω $w \in C$ , μη πραγματική ρίζα της εξίσωσης ${x^3} = 1$ . Να αποδείξετε ότι για κάθε $z \in C$ ισχύει: $\displaystyle{{\left| {z - 1} \right|^2} + {\left| {z - w} \right|^2} + {\left| {z - {w^2}} \right|^2} = 3\left( {1 + {{\left| z \right|}^2}} \right)}$
.

Αποτελεί άμεση συνέπεια της εξής ταυτότητας : (Andreescu, Complex Numbers from A to....Z, p. 142..έχει τυπογραφικό εκεί)

(Leibniz) Για τους μιγαδικούς αριθμούς $z,z_1,z_2,\dots,z_n$ ισχύει: $\displaystyle{\sum_{j=1}^n|z-z_j|^2=n\Big|z-\dfrac{z_1+z_2+\cdots+z_n}{n}\Big|^2+\sum_{j=1}^n\Big|z_j-\dfrac{z_1+z_2+\cdots+z_n}{n}\Big|^2}$

Με z_1=1

,

και

, τις ρίζες της x^3-1=0

στο $\mathbb{C}$ , ισχύει |z_j|=1

για

,
ενώ για το άθροισμα έχουμε

z_1+z_2+z_3=

-(συντελεστής του

στο

)=0.

Συνεπώς,

$\displaystyle{\sum_{j=1}^3|z-z_j|^2=3|z|^2+\sum_{j=1}^3|z_j|^2=3|z|^2+3=3(|z|^2+1)}$

Φιλικά,

Αχιλλέας

Μιγαδικοί 48

Μιγαδικοί 48

Re: Μιγαδικοί 48

Re: Μιγαδικοί 48

Re: Μιγαδικοί 48

Μέλη σε σύνδεση