Μιγαδικοί 51

mathxl · #1

51. Έστω $z \in C$ ώστε $\left| z \right| = 1$ και ${z^n} + z + 1 = 0,n \in {N^ * }$ . Αποδείξτε ότι:
α. ${z^3} = 1$
β. $n = 3k + 2,k \in N$
[G.M. 2/2003]

kostas_zervos · #2

mathxl έγραψε:51. Έστω $z \in C$ ώστε $\left| z \right| = 1$ και ${z^n} + z + 1 = 0,n \in {N^ * }$ . Αποδείξτε ότι:
α. ${z^3} = 1$
β. $n = 3k + 2,k \in N$
[G.M. 2/2003]

α)Έστω $z=x+yi\;,\;x,y\in\mathbb{R}$ .
Είναι z^n=-z-1

, άρα $|z|^n=|z+1| \iff |z+1|=1 \iff (z+1)(\overline{z}+1)=1 \iff z\overline{z}+z+\overline{z}+1=1$ και επειδή $|z|=1\iff z\overline{z}=1$ , έχουμε $z+\overline{z}=-1 \iff x=-\dfrac{1}{2}$ .

Επίσης $x^2+y^2=1\iff \dfrac{1}{4}+y^2=1 \iff y=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Άρα $z=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{i\sqrt{3}}{2}$ , επομένως $z^3=\left(-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{i\sqrt{3}}{2}\right)^3=\cdots=1$ .
β)
Αν $n=3k\;,\;k\in\mathbb{N}^*$ , τότε $z^n=z^{3k}=\left(z^3\right)^k=1^k=1$ , άρα $z^n+z+1=1-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{i\sqrt{3}}{2}+1=\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{i\sqrt{3}}{2}\neq 0$ .

Αν $n=3k+1\;,\;k\in\mathbb{N}$ , τότε $z^n=z^{3k+1}=\left(z^3\right)^kz=1^kz=z$ , άρα $z^n+z+1=2z+1=-1\pm i\sqrt{3}+1=\pm i\sqrt{3}\neq 0$ .

Αν $n=3k+2\;,\;k\in\mathbb{N}$ , τότε $z^n=z^{3k+2}=\left(z^3\right)^kz^2=1^k\left(-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{i\sqrt{3}}{2}\right)^2=-\dfrac{1}{2}\mp\dfrac{i\sqrt{3}}{2}$ , άρα $z^n+z+1=-\dfrac{1}{2}\mp\dfrac{i\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{i\sqrt{3}}{2}+1=0$ .

Επομένως $n = 3k + 2,k \in \mathbb{N}$ .

mathxl · #3

Καλημέρα. Κώστα ευχαριστώ για την λύση.
Στο πρώτο ερώτημα στο σημείο $z + \bar z = - 1$ , αν πολλαπλασιάσουμε με τον

λαμβάνουμε ${z^2} + {\left| z \right|^2} = - z \Rightarrow {z^2} + z + 1 = 0 \Rightarrow \left( {z - 1} \right)\left( {{z^2} + z + 1} \right) = 0 \Rightarrow {z^3} = 1$
Για το δεύτερο ένας έλεγχος για την λύση μπορεί να γίνει και εδώ ${z^n} = - \left( {z + 1} \right) = \bar z = \frac{1}{z} \Leftrightarrow {z^{n + 1}} = 1$

#4

viewtopic.php?p=25869#p25869

parmenides51 · #5

socrates έγραψε:viewtopic.php?p=25869#p25869

Μιγαδικοί 51

Μιγαδικοί 51

Re: Μιγαδικοί 51

Re: Μιγαδικοί 51

Re: Μιγαδικοί 51

Re: Μιγαδικοί 51

Μέλη σε σύνδεση