Μιγαδικοί 52

mathxl · #1

52. Έστω $n \ge 3$ ακέραιος και οι μιγαδικοί $\displaystyle{{z_0},{\rm{ }}{z_1},{\rm{ }}{z_2},{\rm{ }}{z_3},{\rm{ }} \ldots \ldots ..{\rm{ }},{\rm{ }}{z_n}}$ διαφορετικοί ανά δύο και με ίσα μέτρα. Αποδείξτε ότι οι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle\frac{1}{{{z_1} - {z_0}}},\frac{1}{{{z_2} - {z_0}}},\frac{1}{{{z_3} - {z_0}}},...,\frac{1}{{{z_n} - {z_0}}}$ είναι συνευθειακά σημεία.
[G.M. 2/2003]

dennys · #2

Θεωρώ τον μιγαδικό $w=\cfrac{u_1-u_2}{u_2-u_3}$ , όπου $u_i=\cfrac{1}{z_i-z_0},i=1,2,...n$

Επειδή εύκολα αν θέσουμε $|z_i|=\rho\Rightarrow \bar {z_i}=(\rho)^{2}/z_i,i=1,2,...,n$ και

$\bar {w}=w\Rightarrow w\in \mathbb R\Rightarrow w=k\Rightarrow u_1-u_2=k(u_2-u_3)$

σχέση που δείχνει ότι οι εικόνες των u_1,u_2,u_3

είναι συνευθεικές .Όμοια για τα άλλα .

ΛΗΜΜΑ : ισχύει 1) $z_1+z_2=z_3 \Leftrightarrow \vec {OA}+\vec {OB}=\vec {OC}$ και $z_1-z_2=\vec {OA}-\vec {OB}$
2) $z_1=z_2\Leftrightarrow \vec {OA}=\vec {OB}$
3) A,B,C

συνευθειακά $\vec {AB}=k \vec {BC}\Leftrightarrow z_2-z_1=k(z_3-z_2)$

dennys

mathxl · #3

Θεωρούμε τον μιγαδικό ${w_i} =\displaystyle \frac{{{u_i} - {u_2}}}{{{u_2} - {u_3}}},$ όπου ${u_i} = \frac{1}{{{z_i} - {z_0}}},i = 1,2,...,n$ .
Ας είναι ακόμα ${A_i},i = 1,2,...,n$ οι αντίστοιχες εικόνες των ${u_i},i = 1,2,...,n$ στο μιγαδικό επίπεδο.
Έτσι είναι:
$\displaystyle\ {w_i} = \frac{{\frac{1}{{{z_i} - {z_0}}} - \frac{1}{{{z_2} - {z_0}}}}}{{\frac{1}{{{z_2} - {z_0}}} - \frac{1}{{{z_3} - {z_0}}}}} = \frac{{\left( {{z_2} - {z_i}} \right)\left( {{z_3} - {z_0}} \right)}}{{\left( {{z_3} - {z_2}} \right)\left( {{z_i} - {z_0}} \right)}}$ .
Αν θέσουμε $|{z_j}| = \rho ,j = 0,1,2,...,n$ και υψώσουμε τα μέλη στο τετράγωνο, προκύπτει $\overline {{z_j}} = \frac{{{\rho ^2}}}{{{z_j}}},j = 0,1,2,...,n$ .
Είναι:
$\displaystyle\ {\bar w_i} = \frac{{{{\bar u}_i} - {{\bar u}_2}}}{{{{\bar u}_2} - {{\bar u}_3}}} = \frac{{\left( {{{\bar z}_2} - {{\bar z}_i}} \right)\left( {{{\bar z}_3} - {{\bar z}_0}} \right)}}{{\left( {{{\bar z}_3} - {{\bar z}_2}} \right)\left( {{{\bar z}_i} - {{\bar z}_0}} \right)}} = \frac{{\left( {\frac{{{\rho ^2}}}{{{z_2}}} - \frac{{{\rho ^2}}}{{{z_i}}}} \right)\left( {\frac{{{\rho ^2}}}{{{z_3}}} - \frac{{{\rho ^2}}}{{{z_0}}}} \right)}}{{\left( {\frac{{{\rho ^2}}}{{{z_3}}} - \frac{{{\rho ^2}}}{{{z_2}}}} \right)\left( {\frac{{{\rho ^2}}}{{{z_i}}} - \frac{{{\rho ^2}}}{{{z_0}}}} \right)}} = \frac{{\left( {{z_2} - {z_i}} \right)\left( {{z_3} - {z_0}} \right)}}{{\left( {{z_3} - {z_2}} \right)\left( {{z_i} - {z_0}} \right)}} = {w_i}$

Άρα:
${w_i} \in R \Leftrightarrow \exists !k \in R:{w_i} = k \Leftrightarrow {w_i} = \frac{{{u_i} - {u_2}}}{{{u_2} - {u_3}}} = k \Leftrightarrow$

${u_i} - {u_2} = k\left( {{u_2} - {u_3}} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {O{A_i}} - \overrightarrow {O{A_2}} = k\left( {\overrightarrow {O{A_2}} - \overrightarrow {O{A_3}} } \right) \Leftrightarrow$

$\overrightarrow {{A_2}{A_i}} = k \cdot \overrightarrow {{A_3}{A_2}} \mathop \Leftrightarrow \limits_{\kappa o\iota \nu }^{{A_2}} {A_2},{A_i},{A_3},\forall i = 1,2,3,...,n$ συνευθειακά.

Έχουν μείνει: 53 που κάτι δεν άρεσε στον΄socrates στο δεύτερο ερώτημα και η 46 που τώρα θα ψάξω

Μιγαδικοί 52

Μιγαδικοί 52

Re: Μιγαδικοί 52

Re: Μιγαδικοί 52

Μέλη σε σύνδεση