Μιγαδικοί 58

mathxl · #1

58.Τρεις μιγαδικοί αριθμοί $\displaystyle{a{\rm{ }},{\rm{ }}b{\rm{ }},{\rm{ }}c}$ έχουν μέτρο

και ικανοποιούν την ισότητα $\displaystyle{a{\rm{ }} + {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}1}$ . Αποδείξτε ότι:
Α) $\displaystyle{ab{\rm{ }} + {\rm{ }}bc{\rm{ }} + {\rm{ }}ac{\rm{ }} = {\rm{ }}abc}$

Β) $\displaystyle{\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right)\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}b} \right)\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}c} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0}$

Γ) $\displaystyle\frac{1}{{{a^{2011}}}} + \frac{1}{{{b^{2011}}}} + \frac{1}{{{c^{2011}}}} = 1$

Δ) Αν οι $\displaystyle{a{\rm{ }},{\rm{ }}b{\rm{ }},{\rm{ }}c}$ είναι διαφορετικοί ανά δύο, τότε το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των $\displaystyle{a{\rm{ }},{\rm{ }}b{\rm{ }},{\rm{ }}c}$ είναι ορθογώνιο.

dennys · #2

1) Απο τηνσχέση $a+b+c=1\Rightarrow \vec{a}+\vec{b}+vec{c}=1\Rightarrow 1/a+1/b+1/c=1\Rightarrow ab+bc+ac=abc$

γιατί απο $|a|=|b|=|c|=1\Rightarrow \vec{a}=1/a,\vec{b}=1/b,\vec {c}=1/c$

2) (1-a)(1-b)(1-c)=1-c-b+bc-a+ac+ab-abc=0

και απο αυτή έχουμε ότι ενας , θα είναι ίσος με 1 και οι άλλοι δύο αντιδιαμετρικοί.

3)αν $a=1, b+c=0\Rightarrow b=-c\Rightarrow \cfrac{1}{a^{2011}}+\cfrac{1}{b^{2011}}+\cfrac{1}{c^{2011}}=1+0=1$

4) Αν a=1, b=-c

και γεωμετρικά αλλά και $|a-b|^{2}+|a-c|^{2}=(a-b)(\bar{a}-\bar{b})+(a-c)(\bar {a}-\bar {c})=$

$4+0=2^{2}=$ το τετράγωνο της διαμέτρου ,αρα ορθογώνιο

#3

είναι η 25 άσκηση από ένα φυλλάδιο που είχε ανεβάσει ο Μπάμπης το 2011

parmenides51 · #4

εδώ

Μιγαδικοί 58

Μιγαδικοί 58

Re: Μιγαδικοί 58

Re: Μιγαδικοί 58

Re: Μιγαδικοί 58

Μέλη σε σύνδεση