Μιγαδικοί 46

mathxl · #1

46. Έστω οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί x,y

τέτοιοι ώστε: ${x^2} + xy + {y^2} = 0$ . Βρείτε την τιμή της παράστασης: ${\left( {\frac{x}{{x + y}}} \right)^{1990}} + {\left( {\frac{y}{{x + y}}} \right)^{1990}}$ .

(1990 China High School Math Contest).
Αφού απέτυχα να βρω(20 σελίδες εδώ και 40 στο μαθλινκσ ψάξιμο) το σύστημα που μου είχε αρέσει δίνω μια με δυνάμεις.

kostas_zervos · #2

mathxl έγραψε:46. Έστω οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε: ${x^2} + xy + {y^2} = 0$ . Βρείτε την τιμή της παράστασης: ${\left( {\frac{x}{{x + y}}} \right)^{1990}} + {\left( {\frac{y}{{x + y}}} \right)^{1990}}$ .

(1990 China High School Math Contest).

${x^2} + xy + {y^2} = 0 \overset{y\neq 0}{\iff}\left(\dfrac{x}{y}\right)^2+\dfrac{x}{y}+1=0 \iff \dfrac{x}{y}=-\dfrac{1}{2}\pm i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ και $\dfrac{y}{x}=\cdots=-\dfrac{1}{2}\mp i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

${\left( {\dfrac{x}{{x + y}}} \right)^{1990}} + {\left( {\dfrac{y}{{x + y}}} \right)^{1990}}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{x+y}{x}\right)^{1990}}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{x+y}{y}\right)^{1990}}=$

$=\dfrac{1}{\left(1+\dfrac{y}{x}\right)^{1990}}+\dfrac{1}{\left(1+\dfrac{x}{y}\right)^{1990}}=$

$=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{2}\mp i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{1990}}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{2}\pm i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{1990}}=$

$=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{2}\mp i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3\cdot 663+1}}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{2}\pm i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3\cdot 663+1}}=$

$=\dfrac{1}{\left[\left(\dfrac{1}{2}\mp i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3\right]^{663}\left(\dfrac{1}{2}\mp i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}+\dfrac{1}{\left[\left(\dfrac{1}{2}\pm i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3\right]^{663}\left(\dfrac{1}{2}\pm i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}=$

$=\dfrac{1}{\left(-1\right)^{663}\left(\dfrac{1}{2}\mp i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}+\dfrac{1}{\left(-1\right)^{663}\left(\dfrac{1}{2}\pm i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}=$

$=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}\pm i\dfrac{\sqrt{3}}{2}}+\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}\mp i\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=$

$=-\dfrac{1}{2}\mp i\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\pm i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-1$

mathxl · #3

Κώστα ακριβώς αυτό!
Αν θέσουμε x/y=z

, τότε προφανώς είναι

μη μηδενικός και $1 + z + {z^2} = 0 \Rightarrow {z^3} = 1$ .
Έχουμε
$\displaystyle{\displaystyle\left( {\frac{x}{{x + y}}} \right)^{1990}} + {\left( {\frac{y}{{x + y}}} \right)^{1990}} = {\left( {\frac{{\frac{x}{y}}}{{\frac{x}{y} + \frac{x}{x}}}} \right)^{1990}} + {\left( {\frac{{\frac{y}{y}}}{{\frac{x}{y} + \frac{y}{y}}}} \right)^{1990}} = {\left( {\frac{z}{{z + 1}}} \right)^{1990}} + {\left( {\frac{1}{{z + 1}}} \right)^{1990}}$

$= \displaystyle\frac{{1 + {z^{1990}}}}{{{{\left( {1 + z} \right)}^{1990}}}} = \frac{{1 + {z^{1990}}}}{{{{\left( { - {z^2}} \right)}^{1990}}}} = \frac{{1 + {z^{3 \cdot 663 + 1}}}}{{{z^{3 \cdot 1326 + 2}}}} = \frac{{1 + z}}{{{z^2}}} = \frac{{ - {z^2}}}{{{z^2}}} = - 1$

Απομένουν: viewtopic.php?f=51&t=38231
viewtopic.php?f=51&t=38307

#4

mathxl έγραψε:46. Έστω οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε: ${x^2} + xy + {y^2} = 0$ . Βρείτε την τιμή της παράστασης: ${\left( {\frac{x}{{x + y}}} \right)^{1990}} + {\left( {\frac{y}{{x + y}}} \right)^{1990}}$ .

(1990 China High School Math Contest).
Αφού απέτυχα να βρω(20 σελίδες εδώ και 40 στο μαθλινκσ ψάξιμο) το σύστημα που μου είχε αρέσει δίνω μια με δυνάμεις.

Πολ/ντας της δοθείσα με x-y

, παίρνουμε x^3=y^3

, κι άρα $x^{1989}=y^{1989}$ . (1)

Από τη δοθείσα παίρνουμε x(x+y)=-y^2

, κι αφού $y\ne 0$ , έχουμε $\dfrac{y}{x+y}=-\dfrac{x}{y}$ , κι άρα

$\left(\dfrac{y}{y+x}\right)^{1990}=\left(-\dfrac{x}{y}\right)^{1990}=\dfrac{x}{y}$ .

Λόγω συμμετρίας, ή παρομοίως, βρίσκουμε ότι $\left(\dfrac{x}{x+y}\right)^{1990}=\dfrac{y}{x}$ .

Συνεπώς, $\left(\dfrac{x}{x+y}\right)^{1990}+\left(\dfrac{y}{x+y}\right)^{1990}=\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=\dfrac{x^2+y^2}{xy}=-1$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Μιγαδικοί 46

Μιγαδικοί 46

Re: Μιγαδικοί 46

Re: Μιγαδικοί 46

Re: Μιγαδικοί 46

Μέλη σε σύνδεση