Μιγαδικοί -Σχέσεις - Μέτρα - Ανισότητες- Εμβαδά : ΘΕΜΑ Ε'

#1

Οι μιγαδικοί z_1,z_2,z_3

είναι διαφορετικοί μεταξύ τους , έχουν μέτρο

και ικανοποιούν τη σχέση :

$\displaystyle{ \frac {z_1z_2}{(z_1-z_2)^2}+\frac {z_2z_3}{(z_2-z_3)^2}+\frac {z_3z_1}{(z_3-z_1)^2}=-1}$

Να αποδειχθεί ότι:

α) $\displaystyle{ \displaystyle{ \frac {z_1z_2}{(z_1-z_2)^2}=-\frac {1}{|z_1-z_2|^2}.}$

β ) $\displaystyle{ |z_1-z_2|^3+|z_2-z_3|^3+|z_3-z_1|^3 \geq 3 |z_1-z_2|\cdot |z_2-z_3|\cdot |z_3-z_1| }$

γ) οι εικόνες των μιγαδικών z_1,z_2,z_3

σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο.

*** Την ετοιμάζαμε με το Βασίλη για τη συλλογή, αλλά βρήκε άλλη.

Μπάμπης

#2

...για την ώρα τα δύο πρώτα ερωτήματα....

α) Αν ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}={{w}_{1}}$ θέλουμε να δείξουμε ότι $\frac{{{z}_{1}}{{z}_{2}}}{w_{1}^{2}}=-\frac{1}{{{\left| {{w}_{1}} \right|}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{{{z}_{1}}{{z}_{2}}}{w_{1}^{2}}=-\frac{1}{{{w}_{1}}{{{\bar{w}}}_{1}}}\Leftrightarrow \frac{{{z}_{1}}{{z}_{2}}}{{{w}_{1}}}=-\frac{1}{{{{\bar{w}}}_{1}}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}{{\bar{w}}_{1}}=-{{w}_{1}}\Leftrightarrow$

${{z}_{1}}{{z}_{2}}({{\bar{z}}_{1}}-{{\bar{z}}_{2}})=-{{z}_{1}}+{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{1}}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{2}}={{z}_{2}}-{{z}_{1}}$ που ισχύει αφού $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=1$

β) Από την ταυτότητα του Euler επειδή $\left| {{w}_{1}} \right|+\left| {{w}_{2}} \right|+\left| {{w}_{3}} \right|>0$ όπου

${{z}_{1}}-{{z}_{2}}={{w}_{1}}$ και ${{z}_{2}}-{{z}_{3}}={{w}_{2}}$ και ${{z}_{3}}-{{z}_{1}}={{w}_{3}}$ θα ισχύει

${{\left| {{w}_{1}} \right|}^{3}}+{{\left| {{w}_{2}} \right|}^{3}}+{{\left| {{w}_{3}} \right|}^{3}}-3\left| {{w}_{1}} \right|\left| {{w}_{2}} \right|\left| {{w}_{3}} \right|>0$

...τώρα

αύριο αν δεν έχει δοθεί απάντηση γιά το (γ)

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

viewtopic.php?p=135476#p135476

#4

Θανάση, αντί για την ανισότητα AM-GM

και τον τύπο για το εμβαδόν τριγώνου συναρτήσει των πλευρών και του

με χρησιμοποιώ για τη λύση,βλέπω ότι προτιμότερη και ευκολότερη σχετικά είναι η AM-HM

που χρησιμοποιεί ο Βαγγέλης.

Θα τη φτιάξω ένα ωραίο θεματάκι με 4 ερωτηματάκια και θα είναι ... λουκούμι !

Ευχαριστώ για την παραπομπή.

Μπάμπης

Μιγαδικοί -Σχέσεις - Μέτρα - Ανισότητες- Εμβαδά : ΘΕΜΑ Ε'

Μιγαδικοί -Σχέσεις - Μέτρα - Ανισότητες- Εμβαδά : ΘΕΜΑ Ε'

Re: Μιγαδικοί -Σχέσεις - Μέτρα - Ανισότητες- Εμβαδά : ΘΕΜΑ Ε

Re: Μιγαδικοί -Σχέσεις - Μέτρα - Ανισότητες- Εμβαδά : ΘΕΜΑ Ε

Re: Μιγαδικοί -Σχέσεις - Μέτρα - Ανισότητες- Εμβαδά : ΘΕΜΑ Ε

Μέλη σε σύνδεση