Ιδιοκατασκευή

ArgirisM · #1

Αποτέλεσμα των πειραματισμών μου με μία άσκηση (θα αποκαλύψω μετά την πηγή). Δεν νομίζω ότι είναι ιδιαίτερα δύσκολη, απλώς έχω πειράξει λιγάκι τη διατύπωση. Ελπίζω μονάχα να μην μπάζει...
Θεωρούμε το μιγαδικό $z \in C^*$ για τον οποίο ισχύει $|\frac{1}{z} - 1| \geq \sqrt{2}$ .
α) Να βρείτε το γεωμετρικό του τόπο.
β) Με το επιπρόσθετο δεδομένο πως η διαφορά του πραγματικού του μέρους από το φανταστικό είναι σταθερή και ίση με έναν πραγματικό

, να βρείτε τις τιμές του

για τις οποίες ο

είναι μοναδικός, και μετά να βρείτε και τις αντίστοιχες τιμές του

.

#2

ArgirisM έγραψε:Αποτέλεσμα των πειραματισμών μου με μία άσκηση (θα αποκαλύψω μετά την πηγή). Δεν νομίζω ότι είναι ιδιαίτερα δύσκολη, απλώς έχω πειράξει λιγάκι τη διατύπωση. Ελπίζω μονάχα να μην μπάζει...
Θεωρούμε το μιγαδικό $z \in C^*$ για τον οποίο ισχύει $|\frac{1}{z} - 1| \geq \sqrt{2}$ .
α) Να βρείτε το γεωμετρικό του τόπο.
β) Με το επιπρόσθετο δεδομένο πως η διαφορά του πραγματικού του μέρους από το φανταστικό είναι σταθερή και ίση με έναν πραγματικό , να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ο είναι μοναδικός, και μετά να βρείτε και τις αντίστοιχες τιμές του .

Λύση:
α)Η δοθείσα σχέση αν τεθεί $\displaystyle{z=x+yi, x,y \in R}$ γίνεται μετά από πράξεις:

$\displaystyle{(x+1)^2+y^2 \leq 2}\ \ (1)$

Η (1) παριστά κλειστό κυκλικό δίσκο με κέντρο το $\displaystyle{K(-1,0)}$ και ακτίνα $\displaystyle{R=\sqrt{2}}$
όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

: Μιγαδικοί 2.PNG (16.79 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

β) Αν τεθεί $\displaystyle{y-x=a, a \in R}$ , δηλαδή $\displaystyle{y=x+a}$ τότε η (1) γίνεται:

$\displaystyle{2x^2+2(1+a)x+a^2-1 \leq 0 \ \ (2)}$

Για να είναι ο $\displaystyle{z}$ μοναδικός θα πρέπει και το $\displaystyle{x}$ να είναι μοναδικό, συνεπώς η (2) θα πρέπει να έχει μοναδική λύση.
Αυτό πετυχαίνεται όταν:

$\displaystyle{D=0 \Rightarrow a^2-2a-3=0 \Rightarrow a_1=-1, \ \vee \ a_2=3}$

Οι μοναδικοί αυτοί μιγαδικοί είναι αντίστοιχα: $\displaystyle{z_1=-i, \ \ z_2=-2+i}$

: Μιγαδικοί 3.PNG (18.89 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Όπως αυτοί εμφανίζονται στο δεύτερο σχήμα.

Σχόλιο:
Στο πρώτο ερώτημα αναζητήθηκαν όλοι οι μή μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί που ικανοποιούν τη δοθείσα αρχική σχέση.
Στο δεύτερο ερώτημα αναζητήθηκαν εκείνοι από αυτούς που βρέθηκαν στο πρώτο ερώτημα που επιπρόσθετα έπρεπε να έχουν
κάποια ή κάποιες ιδιότητες. Αυτές ήταν η σταθερή διαφορά των του πραγματικού από το φανταστικό μέρος και η
μοναδικότητά τους. Τέτοιοι υπήρξαν δύο! Ο πρώτος που τα μέρη του έχουν σταθερή διαφορά ίση με $\displaystyle{-1}$ και ο
δεύτερος με αντίστοιχη ίση με $\displaystyle{3}$ .

Κώστας Δόρτσιος

ArgirisM · #3

Ώραια! Τώρα όσον αφορά στην ιδέα που είχα στο νου μου, βασικά προσπάθησα να διατυπώσω με μιγαδικούς την εκφώνηση του πρώτου θέματος του ευκλείδη της β' λυκείου του 2002. Είχα κατά νου μία λίγο διαφορετική αντιμετώπιση, βάσει της οποίας το πρώτο υποερώτημα αντιμετωπιζόταν αποκλειστικά με μέτρα ενώ το δεύτερο αρχικά με αναλυτική με εφαρμογή του τύπου για την εύρεση απόστασης σημείου από ευθεία και έπειτα λύνοντας σύστημα. Ήτανε μία απόπειρά μου να καλύψω σχεδόν "χειρουργικά" τις όποιες ομοιότητες. Η λύση όμως που έγινε από τον κύριο Δόρτσιο φέρνει ουσιαστικά το θέμα πίσω στις ρίζες του, καθώς με χρήση των ιδιοτήτων της διακρίνουσας αντιμετωπίζεται το θέμα στο βιβλίο με τα θέματα των διαγωνισμών της ΕΜΕ.

Ιδιοκατασκευή

Ιδιοκατασκευή

Re: Ιδιοκατασκευή

Re: Ιδιοκατασκευή

Μέλη σε σύνδεση