Μιγαδικοί μετά από καιρό

Σακης · #1

Έστω $z\in \mathbb C$ με |z|<1

και οι $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb C$ με εικόνες A,B,C

αντιστοίχως.
Έστω $z_1=1-z, z_2=1-z^{2}, z_3=1-z^{3}$
Νδο ότι η αρχή των αξόνων είναι εξωτερικό σημείο του τριγώνου ABC

kochris · #2

Έχω $z=1-z_1 \rightarrow |z|=|1-z_1|$ και επειδή $|z|<1 \rightarrow |1-z_1|<1 \rightarrow |z_1-1|<1$ . Ομοίως

$z^{2}=1-z_2 \rightarrow |z|^{2} = |1-z_2|$ και επειδή $|z|^{2}<1 \rightarrow |1-z_2|<1 \rightarrow |z_2-1|<1$ . Επισης

$z^{3}=1-z_3 \rightarrow |z|^{3} = |1-z_3|$ και επειδή $|z|^{3}<1 \rightarrow |1-z_3|<1 \rightarrow |z_3-1|<1$ .

Άρα τα σημεία Α,Β.Γ είναι εσωτερικά σημεία του κύκλου με K(1,0) , r=1

. Επομένως η αρχή των αξόνων ειναι εκτός του τριγώνου αφού

d(K,0)=1

#3

Σακης έγραψε:Έστω $z\in{C}$ με |z|<1 και οι $z_1, z_2, z_3 \in{C}$ με εικόνες A,B,C αντιστοίχως.
Έστω $z_1=1-z, z_2=1-z^{2}, z_3=1-z^{3}$
Νδο ότι η αρχή των αξόνων είναι εξωτερικό σημείο του τριγώνου ΑΒC

Καλησπέρα, Κάπου έχει ξαναλυθεί με ..δράστη τον Σεραφείμ, αλλά δε θυμάμαι που.

mathxl · #4

chris_gatos έγραψε:
Σακης έγραψε:Έστω $z\in{C}$ με |z|<1 και οι $z_1, z_2, z_3 \in{C}$ με εικόνες A,B,C αντιστοίχως.
Έστω $z_1=1-z, z_2=1-z^{2}, z_3=1-z^{3}$
Νδο ότι η αρχή των αξόνων είναι εξωτερικό σημείο του τριγώνου ΑΒC

Καλησπέρα, Κάπου έχει ξαναλυθεί με ..δράστη τον Σεραφείμ, αλλά δε θυμάμαι που.

viewtopic.php?f=51&t=1792

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Σακης έγραψε:Έστω $z\in{C}$ με |z|<1 και οι $z_1, z_2, z_3 \in{C}$ με εικόνες A,B,C αντιστοίχως.
Έστω $z_1=1-z, z_2=1-z^{2}, z_3=1-z^{3}$
Νδο ότι η αρχή των αξόνων είναι εξωτερικό σημείο του τριγώνου ΑΒC

με λίγη γεωμετρία..

$\displaystyle{AB = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {1 - z - (1 - {z^2})} \right| = \left| {z - {z^2}} \right| = \left| z \right|\left| {1 - z} \right| = \left| z \right|\left| {{z_1}} \right| < \left| {{z_1}} \right|}$
$\displaystyle{BC = \left| {{z_2} - {z_3}} \right| = \left| {1 - {z^2} - (1 - {z^3})} \right| = {\left| z \right|^2}\left| {1 - z} \right| = {\left| z \right|^2}\left| {{z_1}} \right| < \left| {{z_1}} \right|}$
$\displaystyle{AC = \left| {{z_1} - {z_3}} \right| = \left| {1 - z - (1 - {z^3})} \right| = \left| z \right|\left| {1 - {z^2}} \right| = \left| z \right|\left| {{z_2}} \right| < \left| {{z_2}} \right|}$
Αν το $\displaystyle{O}$ ήταν εσωτερικό του $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ θα είχαμε $\displaystyle{OA + OB < AC + CB \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| < \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|}$ άτοπο
Το $\displaystyle{O}$ όμως δεν μπορεί να ανήκει ούτε στο περίγραμμα του $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ .Πράγματι, αν π.χ είναι σημείο του $\displaystyle{AB}$ θα είναι, $\displaystyle{OA + OB = AB \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = AB < \left| {{z_1}} \right| \Rightarrow \left| {{z_2}} \right| < 0}$ ,άτοπο.

Μιγαδικοί μετά από καιρό

Μιγαδικοί μετά από καιρό

Re: Μιγαδικη μετα απο καιρο

Re: Μιγαδικη μετα απο καιρο

Re: Μιγαδικη μετα απο καιρο

Re: Μιγαδικη μετα απο καιρο

Μέλη σε σύνδεση