Θέμα Μιγαδικών για Επανάληψη

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Θέμα Μιγαδικών για Επανάληψη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από thanasis kopadis » Τετ Μάιος 07, 2014 10:06 am

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: \displaystyle{(i^{2013}z-4-3i)(\bar{z}-3-4i)=4i} (1)
α) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του \displaystyle{z} είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα
β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του \displaystyle{ \left|z \right|}
γ) Αν \displaystyle{z_{1},z_{2}} δύο μιγαδικοί οι εικόνες των οποίων είναι αντιδιαμετρικά σημεία του παραπάνω κύκλου, να δείξετε ότι
\displaystyle{\left|z_{1}+z_{2} \right|-\left|z_{1}-z_{2} \right|=6}
δ) Έστω \displaystyle{z_{3}} μιγαδικός που ικανοποιεί τη σχέση \displaystyle{(1)} και \displaystyle{w_{1},w_{2}} οι ρίζες της εξίσωσης \displaystyle{w^{2}+2(\left|z_{3} \right|-5)w+9=0}
i) Να δείξετε ότι οι \displaystyle{w_{1},w_{2}} δεν είναι πραγματικοί αριθμοί
ii) Να βρείτε τα \displaystyle{\left|w_{1} \right|, \left|w_{2} \right|}
iii) Να δείξετε ότι \displaystyle{Re(\frac{w_{1}-3i}{w_{1}+3i})=0}
iv) Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών \displaystyle{w_{1},w_{2}, w_{3}=\frac{3w_{1}-\bar{w_{2}}}{\frac{\bar{w_{1}}}{3}-w_{2}}} είναι ομοκυκλικά σημεία
ε) Έστω επιπλέον οι μιγαδικοί αριθμοί \displaystyle{u_{1},u_{2}} , οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις
\displaystyle{u_{1}=(5m-1)+(-10m-3)i}} , m\in\mathbb{R} και \displaystyle{\left|u_{2}-1 \right|=Re(u_{2})+1}
i) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του \displaystyle{u_{1}} είναι ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση, ενώ ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του \displaystyle{u_{2}} είναι παραβολή. της οποίας να βρείτε την εστία.
ii) Να βρείτε τη ελάχιστη τιμή του \displaystyle{\left|z-u_{1} \right|} και την ελάχιστη τιμή του \displaystyle{\left|u_{1}-u_{2} \right|}

Kατεβάστε την άσκηση, σε αρχείο pdf, στον παρακάτω σύνδεσμο:http://thanasiskopadis.blogspot.gr/2014/05/2014.html


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5522
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Θέμα Μιγαδικών για Επανάληψη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από george visvikis » Τετ Μάιος 07, 2014 2:32 pm

thanasis kopadis έγραψε:Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: \displaystyle{(i^{2013}z-4-3i)(\bar{z}-3-4i)=4i} (1)
α) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του \displaystyle{z} είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα
β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του \displaystyle{ \left|z \right|}
γ) Αν \displaystyle{z_{1},z_{2}} δύο μιγαδικοί οι εικόνες των οποίων είναι αντιδιαμετρικά σημεία του παραπάνω κύκλου, να δείξετε ότι
\displaystyle{\left|z_{1}+z_{2} \right|-\left|z_{1}-z_{2} \right|=6}
δ) Έστω \displaystyle{z_{3}} μιγαδικός που ικανοποιεί τη σχέση \displaystyle{(1)} και \displaystyle{w_{1},w_{2}} οι ρίζες της εξίσωσης \displaystyle{w^{2}+2(\left|z_{3} \right|-5)w+9=0}
i) Να δείξετε ότι οι \displaystyle{w_{1},w_{2}} δεν είναι πραγματικοί αριθμοί
ii) Να βρείτε τα \displaystyle{\left|w_{1} \right|, \left|w_{2} \right|}
iii) Να δείξετε ότι \displaystyle{Re(\frac{w_{1}-3i}{w_{1}+3i})=0}
iv) Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών \displaystyle{w_{1},w_{2}, w_{3}=\frac{3w_{1}-\bar{w_{2}}}{\frac{\bar{w_{1}}}{3}-w_{2}}} είναι ομοκυκλικά σημεία
ε) Έστω επιπλέον οι μιγαδικοί αριθμοί \displaystyle{u_{1},u_{2}} , οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις
\displaystyle{u_{1}=(5m-1)+(-10m-3)i}} , m\in\mathbb{R} και \displaystyle{\left|u_{2}-1 \right|=Re(u_{2})+1}
i) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του \displaystyle{u_{1}} είναι ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση, ενώ ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του \displaystyle{u_{2}} είναι παραβολή. της οποίας να βρείτε την εστία.
ii) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του \displaystyle{\left|z-u_{1} \right|} και την ελάχιστη τιμή του \displaystyle{\left|u_{1}-u_{2} \right|}

Kατεβάστε την άσκηση, σε αρχείο pdf, στον παρακάτω σύνδεσμο:http://thanasiskopadis.blogspot.gr/2014/05/2014.html


Καλησπέρα Θανάση.

Πολύ ωραίο θέμα και διδακτικό!

α) Είναι \displaystyle{{i^{2013}} = {i^{4 \cdot 503 + 1}} = i}. Η (1) γράφεται:

\displaystyle{\left( {iz - 4 - 3i} \right)\left( {\overline z  - 3 - 4i} \right) = 4i \Leftrightarrow iz\overline z  - 3i\left( {z + \overline z } \right) + 4\left( {z - \overline z } \right) + 21i = 0}

Έστω z=x+yi, τότε \displaystyle{z\overline z  = {x^2} + {y^2},z + \overline z  = 2x,z - \overline z  = 2yi}, οπότε η δοσμένη εξίσωση γίνεται:

\displaystyle{{x^2} + {y^2} - 6x + 8y + 21 = 0 \Leftrightarrow } \boxed{(x-3)^2+(y+4)^2=2^2}

Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο το K(3, -4) και ακτίνα r=2.

β) Η μέγιστη τιμή του |z| είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος OB=OK+r και η ελάχιστη το μήκος του τμήματος OA=OK-r.
\displaystyle{OK = \sqrt {9 + 16}  \Leftrightarrow OK = 5}.

Οπότε: \boxed{max|z|=7, min|z|=3}

Θέμα Μιγαδικών.png
Θέμα Μιγαδικών.png (18.31 KiB) Προβλήθηκε 1875 φορές


γ) Έστω M(z_1), N(z_2) δύο αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου.
Είναι |z_1-z_2|=(MN)=2r=4, \displaystyle{|{z_1} + {z_2}| = |\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON} | = |2\overrightarrow {OK} | = 10}

Άρα: \boxed{z_1+z_2|-|z_1-z_2|=6}

δ) i) Είναι \displaystyle{\Delta  = 4{\left( {|{z_3}| - 5} \right)^2} - 36 = 4\left( {|{z_3}| - 8} \right)\left( {|{z_3}| - 2} \right) < 0}, γιατί \displaystyle{3 \le |{z_3}| \le 7}. Επομένως, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

ii) Επειδή οι w_1,w_2 είναι συζυγείς, \displaystyle{{w_1}{w_2} = 9 \Leftrightarrow {w_1}{\overline w _1} = 9 \Leftrightarrow } \boxed{|w_1|=|w_2|=3}

iii) Έστω w_1=a+bi, με a^2+b^2=9.


\displaystyle{\frac{{{w_1} - 3i}}{{{w_1} + 3i}} = \frac{{a + (b - 3)i}}{{a + (b + 3)i}} = \frac{{[a + (b - 3)i][a - (b + 3)i]}}{{{a^2} + {{(b + 3)}^2}}} = }

\displaystyle{\frac{{{a^2} + {b^2} - 9}}{{{a^2} + {{(b + 3)}^2}}} + \frac{{ - 6a}}{{{a^2} + {{(b + 3)}^2}}}i\mathop  \Leftrightarrow \limits^{{a^2} + {b^2} = 9} } \boxed{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{{w_1} - 3i}}{{{w_1} + 3i}}} \right) = 0}

iv) Έστω K(a,b), L(a, -b), Q(w_3) οι εικόνες των w_1, w_2, w_3 με \displaystyle{{w_1} = {\overline w _2}}

\displaystyle{{w_3} = 3\frac{{3{w_1} - {w_1}}}{{{{\overline w }_1} - 3{{\overline w }_1}}} =  - \frac{{3{w_1}}}{{{{\overline w }_1}}} =  - \frac{{3w_1^2}}{{{w_1}{{\overline w }_1}}} =  - \frac{{w_1^2}}{3}}

Για να είναι τα σημεία K, L, Q ομοκυκλικά, αρκεί να μην είναι συνευθειακά.
Τα K, L ανήκουν στην ευθεία x=a. Αρκεί να δείξουμε ότι το Q δεν είναι σημείο αυτής της ευθείας με την προϋπόθεση ότι τα σημεία είναι διαφορετικά μεταξύ τους.

\displaystyle{{w_3} =  - \frac{{{a^2} - {b^2} + 2abi}}{3} = \frac{{9 - 2{a^2}}}{3} - \frac{{2ab}}{3}i \Leftrightarrow Q\left( {\frac{{9 - 2{a^2}}}{3},\frac{{-2ab}}{3}} \right)}

Έστω ότι \displaystyle{\frac{{9 - 2{a^2}}}{3} = a \Leftrightarrow 2{a^2} + 3a - 9 = 0 \Leftrightarrow a =  - 3 \vee a = \frac{3}{2}}

Αν a=-3, τότε b=0 που είναι άτοπο γιατί \displaystyle{{w_1} \notin R}

Αν \displaystyle{a = \frac{3}{2}}, τότε \displaystyle{Q\left( {\frac{3}{2}, - b} \right) \equiv L}. Άρα τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

ε)i) .

\displaystyle{x = 5m - 1 \Leftrightarrow 2x = 10m - 2,y =  - 10m - 3} και με πρόσθεση κατά μέλη, \boxed{2x+y+5=0}, που είναι και η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας.

Για u_2=x+yi, \displaystyle{|x - 1 + yi| = x + 1 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {y^2} = {(x + 1)^2}}, απ' όπου έχουμε την εξίσωση της παραβολής \boxed{y^2=4x}

ii) Η ελάχιστη τιμή του |z-u_1| είναι d-r (η απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ευθεία, μείον την ακτίνα)

\displaystyle{d = \frac{{|2 \cdot 3 - 4 + 5|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}}. Άρα: \boxed{\min |z - {u_1}| = \frac{{7\sqrt 5  - 10}}{5}}

Θέμα Μιγαδικών.2png.png
Θέμα Μιγαδικών.2png.png (14.12 KiB) Προβλήθηκε 1729 φορές


(*) Έστω S(x,y) το σημείο της παραβολής που απέχει την ελάχιστη απόσταση από την ευθεία (\epsilon).

H απόσταση είναι \displaystyle{SE = \frac{{|2x + y + 5|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{|\frac{{{y^2}}}{2} + y + 5|}}{{\sqrt 5 }}}

Το τριώνυμο \displaystyle{f(y) = \frac{{{y^2}}}{2} + y + 5} παρουσιάζει ελάχιστη τιμή για y=-1, ίση με \displaystyle{f( - 1) = \frac{1}{2} - 1 + 5 = \frac{9}{2}}

Άρα: \boxed{\min |{u_1} - {u_2}| = \frac{{9\sqrt 5 }}{{10}}}

(*) Άλλαξα τη λύση σ' αυτό το ερώτημα και διέγραψα την προηγούμενη, επειδή ήταν λάθος.
Ευχαριστώ τον Θανάση (thanasis kopadis) για το μήνυμά του.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Παρ Μάιος 09, 2014 9:39 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Μιγαδικών για Επανάληψη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από thanasis kopadis » Πέμ Μάιος 08, 2014 9:02 am

Καλημέρα Γιώργο. Αυτό δεν είναι λύση.... πίνακας ζωγραφικής είναι! :clap2:


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5522
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Θέμα Μιγαδικών για Επανάληψη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από george visvikis » Πέμ Μάιος 08, 2014 10:35 am

thanasis kopadis έγραψε:Καλημέρα Γιώργο. Αυτό δεν είναι λύση.... πίνακας ζωγραφικής είναι! :clap2:


Σ' ευχαριστώ Θανάση, να' σαι καλά.



Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης