Κυβικές ρίζες μονάδας

#1

Έστω $\omega \in \mathbb{C}$ ρίζα της μονάδας, ώστε $1+\omega+\omega^m=0$ για κάποιον θετικό ακέραιο

.

Να δειχθεί:
α) $\omega^3=1$
β) $m\equiv 2 (mod \ 3)$ .

A.Spyridakis · #2

α) Είναι $w^{m}=-w-1 \Rightarrow |w+1|=1$ . Άρα $|w|=|w+1|\Rightarrow w\bar{w}=w\bar{w}+w+\bar{w}+1\Rightarrow Re(w)=-\frac{1}{2}$ οπότε αν w=x+yi,

τότε $(-\frac{1}{2})^{2}+y^{2}=1\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ δηλ. o w είναι τρίτη ρίζα της μονάδας, δηλ. w^3=1

β) Αφού

( $w\neq 1$ διότι αν ήταν, τότε 1+1+1^m=0

), είναι

. Οι περιπτώσεις τώρα m=3n και m=3n+1 εύκολα αποκλείονται, αφού $w\neq 1$ και $w\neq 0$ .