Επαναληπτικη στους μιγαδικους.(Δελτίο Νο:6)

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #1

Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{z^2 - az + \beta = 0}$ με $\displaystyle{a,\beta \in R}$ , $\displaystyle{z\in C}$ και $\displaystyle{z_1 ,z_2 }$ είναι οι ρίζες της με $\displaystyle{z_1 = 2 + i}$
i. Να βρείτε τους $\displaystyle{a,\beta \in R}$
ii. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{z_1 ^{2008} + z_2^{2008} \in R}$
Αν $\displaystyle{A(z_1 ),B(z_2 ),\Gamma (z_3 )}$ οι εικόνες των $\displaystyle{z_1 ,z_2 }$ και $\displaystyle{z_3 }$ αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο με $\displaystyle{z_3 = \frac{{z_1 }}{{z_2 }} + \frac{1}{5}(17 + i)}$ ,τότε:
iii. Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές
iv. Αν $\displaystyle{\left| {w - z_1 } \right| = \left| {\overline w - z_1 } \right|}$ να αποδείξετε ότι $\displaystyle{w \in R}$
v. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w που επαληθεύουν την $\displaystyle{\left| {w - z_2 } \right| + \left| {\overline w - z_2} \right| = 10}$ , βρίσκονται σε έλλειψη.

#2

i)

και από Vieta:

$z_1+z_2=a \Leftrightarrow a=4$ και

$z_1 \cdot z_2=b \Leftrightarrow b=5$ .

ii) $z_1^{2008}+z_2^{2008}=z_1^{2008}+\bar{z_1}^{2008}=2Re(z_1) \in R$ .

iii) z_3=4+i

, άρα $A(2,1),B(2,-1),\Gamma (4,1)$ .
Τότε: $AB=A\Gamma=2$ και $AB\perp A\Gamma$ , οπότε το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

iv) $|w-z_1|^2=|\bar{w}-z_1|^2 \Leftrightarrow (\bar{z_1}-z_1)(\bar{w}-w)=0 \Leftrightarrow \bar{w}=w \Leftrightarrow w \in R$ .

H δοσμένη σχέση γράφεται:
$\displaystyle{\left| {w - z_2 } \right| + \left| {\overline w - \bar{z_1} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {w - z_2 } \right| + \left| w - z_1} \right| = 10}$ ,
και ορισμός της έλλειψης...

parmenides51 · #3

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε: H δοσμένη σχέση γράφεται:
$\displaystyle{\left| {w - z_2 } \right| + \left| {\overline w - \bar{z_1} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {w - z_2 } \right| + \left| w - z_1} \right| = 10}$ ,
και ορισμός της έλλειψης...

διότι $10 \geq \left|z_{1}- z_{2}\right|=\left|2+i-(2-i)\right|=\left|2i \right|=2$

Φιλικά

Linardatos · #4

ρε παιδιά είναι βράδυ και μάλλον κάτι δεν βλέπω??? από iv) εχουμε οτι w=w άρα αν αντικαταστήσω κάτω στο v) βγαίνει 2 φορες το ίδιο αρα ο w κινειται σε κυκλο με κέντρο το z2 και ακτινα 5?????

<Γ/Λ>

parmenides51 · #5

Η υπόθεση

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε: ... iv. Αν $\displaystyle{\left| {w - z_1 } \right| = \left| {\overline w - z_1 } \right|}$ ...

ισχύει μόνο για το 4ο ερώτημα, όχι για το 5ο.

Linardatos · #6

απιστευτο και ομως αληθινο..
αδικαιολογητο και παιδαριωδες..
απολογουμαι.. και ευχαριστω. !
<Γ/Λ>

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #7

Είναι το 3ο θέμα των επαναληπτικών θεμάτων της ΕΜΕ του 2008. Δες viewtopic.php?f=55&t=1046

Επαναληπτικη στους μιγαδικους.(Δελτίο Νο:6)

Επαναληπτικη στους μιγαδικους.(Δελτίο Νο:6)

Re: Επαναληπτικη στους μιγαδικους.

Re: Επαναληπτικη στους μιγαδικους.

Re: Επαναληπτικη στους μιγαδικους.

Re: Επαναληπτικη στους μιγαδικους.

Re: Επαναληπτικη στους μιγαδικους.

Re: Επαναληπτικη στους μιγαδικους.

Μέλη σε σύνδεση