Κάτι από μιγαδικούς
Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης
-
- Δημοσιεύσεις: 1419
- Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm
Κάτι από μιγαδικούς
Υπό ποια συνθήκη η ευθεία που ορίζεται από τις ρίζες της εξίσωσης
διέρχεται
1)από την αρχή
2)από το σημείο .
διέρχεται
1)από την αρχή
2)από το σημείο .
Re: Κάτι από μιγαδικούς
1). Αν ( με μια ρίζα είναι 0), ή, αν (έχουμε εκφυλισμένη περίπτωση με ), τότε ευθεία που ορίζεται από τις ρίζες διέρχεται από την αρχή .
Έστω και . Eίναι Η ευθεία που ορίζουν οι διέρχεται από την αρχή , αν και μόνο αν οι διανυσματικές ακτίνες τους είναι συγγραμμικές, δηλαδή αν και μόνο αν υπάρχει πραγματικός αριθμός , τέτοιος ώστε . Από αυτή τη σχέση και τις απαλείφουμε τα Η (2) λόγω της (1) δίνει
, οπότε
Η , τώρα δίνει
Αντιστρόφως, αν ισχύει οι δίνουν (εύκολο) την και ισχύει το ζητούμενο.
Εξετάζουμε τώρα, τι συμβαίνει αν . Και οι δύο σχέσεις και δίνουν . Η αρχική εξίσωση έχει ρίζες αντίθετες (αυτές είναι συμμετρικές ως προς το , δεν κείνται κατ΄ανάγκην στον άξονα των x ), οπότε η ευθεία που ορίζουν διέρχεται από το .
Σύμφωνα με τα παραπάνω ικανή και αναγκαία συνθήκη είναι: , ή, , ή, να υπάρχει πραγματικός με
2). Η ευθεία που ορίζουν οι διέρχεται από την εικόνα του , αν και μόνο αν η ευθεία που ορίζουν οι διέρχεται από την αρχή. Επομένως αναγόμαστε στην περίπτωση για τις ρίζες της εξίσωσης , όπου ορίσαμε
και
Σύμφωνα με το , ως ικανή και αναγκαία συνθήκη έχουμε: , ή, , ή, να υπάρχει πραγματικός με
... με επιφύλαξη για τυπογραφικά...
Έστω και . Eίναι Η ευθεία που ορίζουν οι διέρχεται από την αρχή , αν και μόνο αν οι διανυσματικές ακτίνες τους είναι συγγραμμικές, δηλαδή αν και μόνο αν υπάρχει πραγματικός αριθμός , τέτοιος ώστε . Από αυτή τη σχέση και τις απαλείφουμε τα Η (2) λόγω της (1) δίνει
, οπότε
Η , τώρα δίνει
Αντιστρόφως, αν ισχύει οι δίνουν (εύκολο) την και ισχύει το ζητούμενο.
Εξετάζουμε τώρα, τι συμβαίνει αν . Και οι δύο σχέσεις και δίνουν . Η αρχική εξίσωση έχει ρίζες αντίθετες (αυτές είναι συμμετρικές ως προς το , δεν κείνται κατ΄ανάγκην στον άξονα των x ), οπότε η ευθεία που ορίζουν διέρχεται από το .
Σύμφωνα με τα παραπάνω ικανή και αναγκαία συνθήκη είναι: , ή, , ή, να υπάρχει πραγματικός με
2). Η ευθεία που ορίζουν οι διέρχεται από την εικόνα του , αν και μόνο αν η ευθεία που ορίζουν οι διέρχεται από την αρχή. Επομένως αναγόμαστε στην περίπτωση για τις ρίζες της εξίσωσης , όπου ορίσαμε
και
Σύμφωνα με το , ως ικανή και αναγκαία συνθήκη έχουμε: , ή, , ή, να υπάρχει πραγματικός με
... με επιφύλαξη για τυπογραφικά...
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες