Εύρεση Ζορό

mathxl · #1

Εάν $\displaystyle{|z| \le 1,|{z^2} - 3z + 3| \le 1}$
να ΄βρείτε τον z.

#2

#3

Είχα την εξής λύση, αλλά, ίσως, "μπάζει":
Με z=a+bi, a, b πραγματικοί είναι:
$|z^{2}-3z+3|=|(a+bi)^{2}-3(a+bi)+3|=\sqrt{(a^{2}-b^{2}-3a+3)^{2}+(2ab-3b)^{2}}$
Αν $f(a)=(a^{2}-b^{2}-3a+3)^{2}+(2ab-3b)^{2}, a\in [-1,1]$ , τότε
f'(a)=

2 $(2a-3)(a^{2}-b^{2}-3a+3)+4b^{2}(2a-3)$ , ή
f'(a)=

2 $(2a-3)(a^{2}-3a+b^{2}+3)\prec 0$ , αφού $a\in [-1,1]$
Έτσι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [-1, 1] και έχει ελάχιστο το $f(1): f(a)\geq f(1)=(1-b^{2})^{2}+b^{2}$
Για a=1 το b=0 και τότε $f(a)\geq 1$ , επομένως $|z^{2}-3z+3|\geq 1$ με την ισότητα να ισχύει όταν z=1 κλπ

#4

rek2 έγραψε:... $f'(a)=(2a-3)(a^{2}-b^{2}-3a+3)+4b^{2}(2a-3)$ , ή
$f'(a)=(2a-3)(a^{2}-3a+3b^{2}+3)\prec 0$ , αφού $a\in [-1,1]$
.....

Κώστα αν δεν κάνω λάθος η λύση σου δεν μου φαίνεται να μπάζει.
Νομίζω ότι στην παράγωγο λείπει ένα 2, ως ακολούθως:

$f'(a)=2(2a-3)(a^{2}-b^{2}-3a+3)+4b^{2}(2a-3)$ , ή
$f'(a)=2(2a-3)(a^{2}-3a+3+b^{2})\prec 0$ .

Κατά τα άλλα οκ.

#5

Λευτέρη, έχεις δίκιο!
Τώρα, αν μπάζει, θα δούμε!....

mathxl · #6

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις

. Η λύση που έχω δει είναι σαν του Σεραφείμ. Ωστόσο του Κώστα είναι πιο κοντά στα εντός ύλης μαθηματικά

Εύρεση Ζορό

Εύρεση Ζορό

Re: Εύρεση Ζορό

Re: Εύρεση Ζορό

Re: Εύρεση Ζορό

Re: Εύρεση Ζορό

Re: Εύρεση Ζορό

Μέλη σε σύνδεση