επαναληπτική άσκηση στους μιγαδικούς

stelmarg · #1

Εστω οι μιγαδικοί z_1,z_2,z_3,w

για τους οποίους ισχύει

w=z^3_1+z^3_2+z^3_3

,

και

Nα αποδειχθεί ότι :

i) a=1

ii)

iii)

iv)

#2

Από την
$\left( z_{1}+z_{2}+z_{3}\right) ^{2}=\allowbreak z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+2\left( z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}\right)$
έχουμε
$4=0+2\left( z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}\right)$
οπότε
$z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}=2$
Τώρα:
$z_{1}+z_{2}+z_{3}=2\Rightarrow \bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}+\bar{z}_{3}=2\Rightarrow \frac{a^{2}}{z_{1}}+\frac{a^{2}}{z_{2}}+\frac{a^{2}}{z_{3}}=2\Rightarrow a^{2}\frac{z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}}{z_{1}z_{2}z_{3}}=2\Rightarrow a^{2}\frac{2}{z_{1}z_{2}z_{3}}=2$
άρα
$z_{1}z_{2}z_{3}=a^{2}\Rightarrow \left| z_{1}z_{2}z_{3}\right| =a^{2}\Rightarrow a^{3}=a^{2}\Rightarrow a=1$
οπότε
$z_{1}z_{2}z_{3}=1$
Από την
$z_{1}^{3}+z_{2}^{3}+z_{3}^{3}-3z_{1}z_{2}z_{3}=\left( z_{1}+z_{2}+z_{3}\right) \left( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-\left( z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}\right) \right)$
βρσίκουμε $w-3=2\left( 0-2\right)$ και επομένως
w=-1

Μαυρογιάννης

stelmarg · #3

γεια σας και χρόνια πολλά!
ήθελα να ρωτήσω τη γνώμη σας για την άσκηση που έβαλα στο forum.
Tα δύο πρώτα ερωτήματα ίσως θα μπορουσαν να τα βάλουν στις πανελλήνιες,
αλλά το 3ο ερώτημα δεν είναι λίγο εξεζητημένο για το επίπεδο των πανελλήνίων?
αφου χρησιμοποιήσατε αυτήν την ταυτότητα,την οποία να σας πω την αλήθεια δεν θυμόμουν και τη βρήκα στο βιβλίο του Σκομπρη σε μια παρόμοια άσκηση.
Ηθέλα να δω μήπως και λύνεται με κάποιο πιο έυκολο τρόπο.
Να είστε καλά κύριε Νίκο, και να συνεχίσετε να μας διδάσκετε!

chris · #4

Προσωπικά θεωρώ οτι τέτοιου είδους ασκήσεις δεν πολυβλέπουμε στις πανελλήνιες αν κρίνουμε απο το οτι οι μιγαδικοί είναι
δεύτερο θέμα.Η άσκηση πάντως είναι όμορφη και θα μπορούσε να διδαχθεί ακόμα και στην τάξη.

Math Rider · #5

Μια διαφορετικη λύση του ερωτηματος iv)

Οι $\displaystyle{ z_1 ,z_2 ,z_3 , }$ είναι (από τύπους Vieta) ρίζες της (ως προς t) εξίσωσης
$\displaystyle{ t^3 - (z_1 + z_2 + z_3 )t^2 + (z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 )t - z_1 z_2 z_3 = 0_3 , }$ δηλαδή της εξίσωσης
$\displaystyle{ t^3 - 2t^2 + 2t - 1 = 0 }$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow (t - 1)(t^2 - t + 1) = 0 }$ η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς
1, $\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i }$ , $\displaystyle{ \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i }$
Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω $\displaystyle{ z_1 = 1, }$ $\displaystyle{ z_2 = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i }$ και $\displaystyle{ z_3 = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i }$
Τότε $\displaystyle{ w = z_1 ^3 + z_2 ^3 + z_3 ^3 = 1 - 1 - 1 = - 1 }$
(Οι $\displaystyle{ z_2 ,z_3 }$ είναι οι μιγαδικές λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{ z^3 = - 1 }$ )

#6

stelmarg έγραψε:Εστω οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει

,

και

Nα αποδειχθεί ότι :

i)

ii)

iii)

iv)

Για το ερώτημα iv) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια άλλη πολύ χρήσιμη και ξεχασμένη ταυτότητα :

a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a)

Σύμφωνα με αυτή είναι :

w=z_1^3+z_2^3+z_3^3 = (z_1+z_2+z_3)^3-3(z_1+z_2)(z_2+z_3)(z_3+z_1)

= 8-3(2-z_3)(2-z_1)(2-z_2) =

8 - 3[8 - (z_1+z_2+z_3)2^2+(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)2 - z_1z_2z_3]=

=.... = 8-3(8-8+4-1)=8-9 = -1

Με την ευκαιρία να πω ότι η άλγεβρα που διδάσκουμε στο Λύκειο είναι ελλειπής και αυτό φαίνεται αν καμιά φορά στις πανελλήνιες τα θέματα χρειάζονται άνεση στην άλγεβρα.Οι ταυτότητες και οι ανισότητες ίσα ίσα που αγγίζονται.Που λοιπόν να περισσέψει χρόνος για την ταυτότητα Euler ή την παραπάνω ! Από το φθινόπωρο μάλιστα η ταυτότητα Euler επισημα δεν θα αναφέρεται καθόλου.
Στο νέο βιβλίο - και αυτό θα το αναφέρω στις σχετικές ημερίδες που γίνονται για αυτό το θέμα - ο αλγεβρικός λογισμός είναι τελείως στοιχειώδης για αυτή την τάξη.Είναι πιο ελλειπής από το προηγούμενο βιβλίο. Θα τολμούσα να πω ότι είναι πολύ πιο εισαγωγικός από την άλγεβρα της Γ γυμνασίου.Σίγουρα οι συγγραφείς το γνωρίζουν αυτό αλλά έχουν επιλέξει μια σύντομη ανακεφαλαίωση της άλγεβρας ώστε να προχωρήσουν γρήγορα τα πρώτα κεφάλαια με απώτερο σκοπό να διδαχθούν επιτέλους στην Α΄Λυκείου και λίγο αυτές οι ...περιβόητες συναρτήσεις, που μέχρι τώρα έμεναν για το φθινόπωρο , δηλαδή για τις αρχές της Β' Λυκείου. Η προσδοκία ότι το νέο βιβλίο της γ΄Γυμνασίου , που πράγματι είναι καλό , θα έστελνε στο λύκειο καλύτερα προετοιμασμένους τους μαθητές , ναυάγησε . Θα ανιχνεύσουμε στο μέλλον τις αιτίες για αυτή την εξέλιξη.Έτσι, η επιλογή αυτά που ο μαθητής διδάχτηκε στην Γ γυμνασίου, να διδαχθούν τώρα στην Α΄Λυκείου συνοπτικά , δεν θα έχει απόλυτη επιτυχία ή έστω την αναμενόμενη.

Οι δύο μόνο ώρες που δίνονται για τη διδασκαλία της άλγεβρας στην Α΄λυκείου έχουν ως συνέπεια αυτά που όλοι σας γνωρίζετε.Αυτό θα παραμείνει όμως όπως είναι , διότι το Υπουργείο δεν έχει πρόθεση να αυξήσει έστω κατά μία ώρα την άλγεβρα.Επομένως, όποια και να είναι η φιλοσοφία του βιβλίου στην άλγεβρα της Α΄λυκείου, είμαι σίγουρος ότι θα προσκρούσει σε εμπόδια εγγενή με τη φύση του γυμνασίου, με τα ανομοιόμορφα τμήματα, με την έλλειψη διαδακτικών ωρών , με την έλλειψη κριτηρίων εισαγωγής στα γενικά λύκεια και πολλά άλλα που δεν είναι της ώρας.
Δυστυχώς αποδεικνύεται ότι ο παλιός διαχωρισμός των τμημάτων των γενικών Λυκείων σε Κλασικά - Πρακτικά δεν έχει βρει μέχρι σήμερα ένα καλύτερο διάδοχο.Μόνο σε εκείνο το Λύκειο υπήρχε χρόνος για να μάθεις σωστά αυτό που επέλεγες, μια και στο ωρολόγιο πρόγραμμα υπήρχε επαρκής χρόνος για σωστή διδασκαλία.

Ελπίζω μέχρι το φθινόπωρο να έχουμε κάποιες θετικές εξελίξεις στην Παιδεία και να τις συζητήσουμε στο συνέδριο της ΕΜΕ που φιλοξενούμε στη Χαλκίδα το Νοέμβριο.Αν κρίνω βέβαια από αυτά που ανακοινώνονται, μάλλον πρέπει να είμαστε πολύ συγκρατημένοι.
Τις παραπάνω σκέψεις δεν τις αναφέρω ως αφορμή για διάλογο σε αυτή την άσκηση, παρά ως απλές διαπιστώσεις που μπορεί να κουβεντιαστούν σε αναξάρτητο χώρο , άλλη φορά.

Μπάμπης

επαναληπτική άσκηση στους μιγαδικούς

επαναληπτική άσκηση στους μιγαδικούς

Re: επαναληπτική άσκηση στους μιγαδικούς

Re: επαναληπτική άσκηση στους μιγαδικούς

Re: επαναληπτική άσκηση στους μιγαδικούς

Re: επαναληπτική άσκηση στους μιγαδικούς

Re: επαναληπτική άσκηση στους μιγαδικούς

Μέλη σε σύνδεση