Μιγαδικοί 25-Ανισότητα (γνωστή)

mathxl · #1

Να αποδείξετε ότι
$\displaystyle{\left| {{z_1} + {z_2}} \right| + \left| {{z_2} + {z_3}} \right| + \left| {{z_3} + {z_1}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right|,\forall {z_1},{z_2},{z_3} \in C}$

Dreamkiller · #2

Είναι η ανισότητα Hlawka.

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \sum|z_1+z_2|^2=\sum|z_1|^2+|z_1+z_2+z_3|^2$ . Αυτό αποδεικνύεται είτε κάνοντας τις πράξεις με τους συζυγείς είτε γεωμετρικά αφού είναι ουσιαστικά το θεώρημα Leibniz. Υψώνοντας επομένως τη δοθείσα ανισότητα στο τετράγωνο αρκεί να αποδείξουμε ότι $\displaystyle \sum |z_1+z_2||z_2+z_3| \leq |z_1+z_2+z_3|\sum|z_1| +\sum|z_1||z_2|$ . Αλλά $|(z_1+z_2)(z_2+z_3)=|z_2(z_1+z_2+z_3) +z_1z_3| \leq |z_2||z_1+z_2+z_3| + |z_1||z_3|$ , σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα οπότε εργαζόμενοι κυκλικά τελειώσαμε.

mathxl · #3

Σωστά και την άσκηση την έχω πάρει από το βιβλίο του Αντρέσκου
μερικά pdf με γενικεύσεις http://web.ces.kyutech.ac.jp/~aoi/publi ... uality.pdf
http://www.mathnet.or.kr/mathnet/kms_tex/978743.pdf
σελίδα 20 στο λεξικό ανισοτήτων http://ajmaa.org/RGMIA/monographs/bulle ... p-Comb.pdf
Η ανισότητα του djokovic ως επέκταση αυτής του Hlawka http://web.ces.kyutech.ac.jp/~aoi/publi ... uality.pdf
Λύσεις από προβλήματα εδώ http://cms.math.ca/crux/v26/n8/page500-531.pdf. Στο έγγραφο αυτό φιγουράρει ο Μιχάλης σαν λύτης σε αρκετά θέματα...κάποια από ατά είναι 2481, 2480, 2477 κτλ και στην ζητούμενη ανισότητα 2482
Έγγραφο το οποίο έχει και άλλα ελληνικά ονόματα. Επίσης αναφέρεται 'οτι ο Hlawka είναι τώρα, σχεδόν τυφλός!!!

Εκ΄τος από την λύση με ύψωση στο τετράγωνο έχω δει κα μία με χρήση βαρ'υκεντρου

#4

mathxl έγραψε: ...

Επίσης αναφέρεται 'οτι ο Hlawka είναι τώρα, σχεδόν τυφλός!!!

...

βέβαια, αυτό αναφέρθηκε σε τεύχος του Crux του 2000! Ο Hlawka έχει πια... πεθάνει.

http://en.wikipedia.org/wiki/Edmund_Hlawka

Μιγαδικοί 25-Ανισότητα (γνωστή)

Μιγαδικοί 25-Ανισότητα (γνωστή)

Re: Ανισότητα (γνωστή)

Re: Ανισότητα (γνωστή)

Re: Ανισότητα (γνωστή)

Μέλη σε σύνδεση