άσκηση μιγαδικών

pastavr · #1

$\displaystyle{ z_1 + z_2 + z_3 = 0{\rm{ }}\kappa \alpha \iota {\rm{ }}\left| {z_1 } \right| = \left| {z_2 } \right| = \left| {z_3 } \right| = k > 0 }$
Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{ z_1 ^{2^\alpha } + z_2 ^{2^\alpha } + z_3 ^{2^\alpha } = 0{\rm{ }} }$
όπου α θετικός ακέραιος

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #2

Δες viewtopic.php?f=51&t=2322

pastavr · #3

Ευχαριστώ πολύ Δημήτρη

Ανδρέας Πούλος · #4

Πραγματικά, έχει πολύ ενδιαφέρον να δούμε και την απάντηση στο πρόβλημα με τη βοήθεια του κανόνα De Moivre
και της γεωμετρικής σημασίας της πράξης "πολλαπλασιασμός μιγαδικών αριθμών".
Αφού το άθροισμα των τριών μιγαδικών είναι 0 και αυτοί έχουν ίσα μέτρα,
αυτό σημαίνει ότι είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου με κέντρο το (0, 0).
Αυτό είναι μία επίσης ενδιαφέρουσα άσκηση που μπορεί να απαντηθεί με γνώσεις διανυσματικού λογισμού της Β΄Λυκείου (Κατεύθυνσης).
Το ότι οι εικόνες των τριών μιγαδικών αριθμών είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου,
σημαίνει ότι τα πρωτεύοντα ορίσματά τους διαφέρουν κατά 120 μοίρες.
Άρα έχουμε:
$z_{2}=\left\left| z_{1}\right|\left(\sigma \upsilon \nu 120^{o}+i\eta \mu 120^{o} \right) \right$ και

$z_{3}=\left\left| z_{1}\right|\left(\sigma \upsilon \nu 240^{o}+i\eta \mu 240^{o} \right) \right$ ή

$z_{3}=\left\left| z_{1}\right|\left(\sigma \upsilon \nu 120^{o}-i\eta \mu 120^{o} \right) \right$ .

Τώρα, εφαρμόζουμε τον κανόνα του De Moivre που απλοποιεί την αναπαράσταση
ενός μιγαδικού υψωμένου σε δύναμη
και προκύπτει ότι το ζητούμενο άθροισμα είναι ο αριθμός 0.
Συγνώμην, αλλά έχει αρκετή δουλειά η γραφή σε EqEditor και δεν είμαι αρκετά εξοικειωμένος.
Πάντως, η κεντρική ιδέα της αντιμετώπισης είναι η γεωμετρική (ισόπλευρο τρίγωνο),
με χρήση κανόνων τριγωνομετρίας και φυσικά με τη χρήση του ισχυρού εργαλείου
τον κανόνα του Μαρκήσιου De Moivre (δεν ήταν όλοι οι μαρκήσιοι όπως τους νομίζουμε).
Αν έχεις κάποιος την υπομονή μπορεί να γράψει την πλήρη λύση στο EqEditor.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

άσκηση μιγαδικών

άσκηση μιγαδικών

Re: άσκηση μιγαδικών

Re: άσκηση μιγαδικών

Re: άσκηση μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση